D > 39 9 2 3 LE E

ee L

= — — 3 C (De q°?

le plan des æy et la surface du cylindre b?x? + a? y? = a? b?, [LICENCE : Paris, 1882.]

4. Les axes O x et O y étant rectangulaires et A et B étant deux points de l’axe O y, calculer l'intégrale curviligne

f Le Gr) er— my] de + [#(y)e7— mJ dy prise le long d’un chemin quelconque AMB, allant du point A au point B, mais limitant avec AB une aire AMBA de grandeur donnée S; m désigne une constante, et o(y) une fonction continue ainsi que sa dérivée D'(Y).

[Licence : Nancy, 1895.]

5. Établir la formule F(p)l(g)=T(p+g)B(p, q) en évaluant l’inté-

grale double f/ CRE RP VIE EP

étendue à l’angle 0 y, au moyen du changement de variables x +yY=u, Vue

6. Trouver l’aire de la portion d’un ellipsoïde ou d'un hyperboloïde de révolution, comprise entre deux parallèles.

"1. Aire d’un ellipsoïde à trois axes inégaux. — La moitié de l'aire totale .& est égale à l'intégrale double

re / : a?—,c2 UNE CEE

— TT“ ce nd

de a EM I — 3 a? b?

étendue à l’intérieur de l’ellipse b2x2+ ay?= a? b?, Parmi les moyens

Et

s EXERCICES. 353

employés pour ramener cette intégrale double à des intégrales elliptiques, un des plus simples, dû à Catalan, consiste dans la transformation du

n° 122. En désignant par + la fonction sous le signe ff, et faisant varier ?

de 1 à +, on trouve que l'intégrale double est égale à la limite, pour L infini, de la différence

re B a) PARU APTE HAT RSR C2 ce? ENS /{e-+5 (045) (#47) ty à (+5) (+) Ps) ) |

cette expression se présente sous forme indéterminée, mais on peut écrire

27 2 c? PA c? ; 02 dv e ÉTAT er MERE AT c? c? 9 P2—I+ — EE 0 $ L a” \ b?

c2 n" dv

c?° c° ia dv À — — — lo Me : =. 3 c? c?

p? CE a) (14: ñ) \ a

8* L’aire d’une surface définie par son équation en coordonnées polaires p = F(0, 9) s'exprime par l'intégrale double ff £-sino d9 dy, ü étant la distance de l’origine au plan tangent au point (6,0). Interprétation géométrique.

Application. — L’'aire de la surface d’élasticité de Fresnel,

dE + y? + 32)? = a?22 + by? + c2z?,

podaire d’un AE par ppeS à son centre, est égale à celle de

bc ca ab

l'ellipsoïde de demi-axes eee CWILLTAM Rogerrs, Journal de Liou-

ville, t. XI, 1° série, p. 81).

Ger Es 4 23

9. En évaluant de deux facons différentes l'intégrale double de CPE

étendue à l’aire du triangle formé par les droites y =, Y =2,%= X,

démontrer qu’on a ë De x — y }1+1 d de en APT CTIEE ES

En déduire la relation

VIE af” da. [ra G mn Ce = f(y) dy.

Établir de même la formule

D a dr 14 na le eax | f(x) dr

Er Lo

[ à ï TL (x2— 7°)" f(y) dy;

Gre

et vérifier ces formules au moyen de la différentiation sous le signe [e