II. — FONCTIONS. — GÉNÉRALITÉS

positif ; nous supposons en outre que C est le plus petit nombre positif satisfaisant aux trois relations (8). Si pour deux valeurs différentes £/, 4”, on a à la fois

(9) f)=fC), p()=ecr, dE) = CE),

sans que la différence #'— #” soit un multiple de w, le point correspondant de l'est un point double. S'il est ne de trouver deux valeurs 4', {’ satisfaisant aux relations (9), sans que #'—{” soit un multiple de w, la courbe T n’a pas de point double. Pour appliquer ces définitions aux courbes planes, il suffit de supposer d({)— 0.

M. Jordan à démontré rigoureusement (voir son Cours d’Analyse) qu’une courbe plane fermée C sans points doubles divise le plan en deux régions, l’une intérieure, l’autre extérieure, deux points d’une même région pouvant toujours être joints par une ligne brisée sans traverser G, tandis que toute ligne continue joignant un point de la région intérieure à un point de la région extérieure traverse nécessairement la courbe C.

Sur ce point-là, le raisonnement ne fait que confirmer lintuition géométrique, mais il ne faut pas croire qu'il en est toujours ainsi. M. Peano en a donné un exemple bien curieux en faisant connaître une courbe plane qui jouit de la singulière propriété suivante : Lorsqu'on fait varier le paramètre 4, le point dont les coordonnées sont x —f(t), y — œ(t) vient coïncider successivement avec tous les points intérieurs à un carré ().

Nous n'avons cité cefésultat que pour montrer combien la notion analytique de courbe est plus complexe que la notion vulgaire. Dans la suite, nous ne nous occuperons le plus souvent que de courbes satisfaisant aux conditions suivantes qui sont vérifiées par les contours que l’on considère habituellement. Soient x — fer y = (1) les équations qui définissent une courbe GC, et soit (a, b) Pintervaile dans lequel il faut faire varier t RUES inen tous les points de cette courbe. Nous supposerons qu'on peut décomposer (&, b) en un nombre fini d'intervalles partiels, dans chacun desquels chacune des fonctions f, © va constamment en croissant, Où constamment en décroissant, ou reste constante. Si par

(!) PEaxo, Sur une courbe qui remplit une aire plane (Math. Annalen t. XXXVI). Voir aussi HiLBERT (/bid., t. XXXVIIT).

exemple, la fonction x — f(t) va en croissant dans un intervalle (x, 8), on peut, d’après lathéorie des fonctions inverses, en déduire pour { une fonction continue de x, et Parc correspondant est représenté par une équation telle que y = G(x). De même, si la fonction &(£) va constamment en croissant ou en décroissant dans un intervalle partiel, l’arc correspondant est représenté par une équation telle que x — H(7).

Toutes les courbes dont il sera question par la suite sont formées d’un certain nombre d’arcs de cette espèce mis bout à bout. Considérons en particulier un contour fermé C, sans point double, et prenons les points de C où x est maximum où minimum (y compris les points des portions de droites parallèles à O y’, si le contour C en contient), et soient æ,, Ze, ..., æ, les abscisses de ces points rangés par ordre de grandeur croissante. Toute parallèle x —x à l’axe Oy, à étant compris dans l’un des intervalles (x;,, x;), rencontre C en un nombre pair de points d’ordonnées (91, Yo; +, Yep); Ya étant une fonction continue w4(x) dans l'intervalle (x;,, x;). Nous supposerons qu’on à

Di LL Pa LL Pa Lee K Day L'OIp.

Tout point de la bande limitée par les droites TRE", et compris entre les courbes y, = ,,7y2=— 0, est intérieur au contour C; au contraire, tout point de cette bande compris entre les deux courbes J2—= Le et V3 — 3 est extérieur au contour €, etc. En continuant ainsi, on voit que Le domaine intérieur à la courbe C peut être décomposé en un nombre fini de domaines partels, dont chacun est limité par deux parallèles 3=a,xz=bàaOyet

deUXPCOUTDES VEN), EE v:(æ), les fonctions e, et ©2 étant continues dans l’intervalle (a, b).

1° Le produit de deux fonctions à variation bornée est à variation bornée.

> Si f(æ) est à variation bornée, il en est de même de | f(x) |. 3° Pour qu’une fonction soit à variation bornée, il faut et il suffit que la somme des oscillations dans chaque intervalle partiel reste finie.

4° Si une fonction f(x, y) est uniformément continue par rapport à chaque variable dans un domaine, elle est continue par rapport à l’ensemble des deux variables dans ce domaine.