I. — DÉFINITIONS. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES

14. Dérivées. — Soit f(x) une fonction continue; les deux termes du rapport

F(x+Rh)— f(x)

tendent vers zéro simultanément lorsque, x restant fixe, la valeur absolue de À diminue indéfiniment. Si ce rapport tend vers une limite, on dit que cette limite est la dérivée de la fonction APE et on la représente par y/ ou f(x), suivant la notation de Lagrange.

À la notion analytique de la dérivée se rattache une notion géométrique importante. Soit y = f(x) une fonction continue dans un intervalle (a, b); considérons dans un plan le point de coordonnées (x, y). Lorsque x varie de a à b, ce point décrit un arc de courbe AMB, qui représente graphiquement la marche de la fonction f(x) dans l’intervalle (a, b). Soient M et M! deux points voisins de cet arc de courbe, d’abscisses + et x + h. Le coefficient angulaire de la droite MM’ est égal à |

lorsque À tend vers zéro, le point M'se rapproche indéfiniment du point M et, si la fonction f(x) admet une dérivée, le coefficient angulaire de la droite MM! tend vers la limite y’. La droite MM’ tend donc vers une position limite MT, qu'on appelle la tangente à la courbe; l'équation de cette tangente est, d’après ce qui précède,

or =r(X—t), À et Y étant les coordonnées courantes.

Te EN

Plus généralement, considérons une courbe quelconque dans

l’espace et soient

me f{t},. y =g({) 05 NN

les expressions des coordonnées d'un point de cette courbe en fonction d’un paramètre variable t. Prenons sur cette courbe deux points M, M’ correspondant aux deux valeurs t et + h du paramètre : les équations de la corde MM' sont

FO+R)=S() EG FR)S et) POS Si l'on divise tous les dénominateurs de ces rapports par k, et qu’on fasse ensuite tendre À vers zéro, on voit que la corde MM’ tend vers une position limite qui est représentée par les équations

X— f(E) L Y= pt) RMS TECE) o'(£) d'(£)

ceci suppose, bien entendu, que les trois fonctions f(t), @(t), Y(t) admettent une dérivée. La détermination de la tangente à une courbe se ramène donc analytiquement à un calcul de dérivées.

Toute fonction qui admet une dérivée est nécessairement continue, mais la réciproque n’est pas vraie. Îl est facile de donner des exemples de fonctions continues n'ayant pas de dérivée pour des valeurs exceptionnelles de la variable. Telle est la fonc-

: ACT ë ; DOTE EE RSS pour æ —0; lorsque x tend vers zéro, il en est

de même de y et la fonction est bien continue, mais le rap-

port > — sin ne tend vers aucune limite (n° 9).

Soit encore y —x*; cette fonction est continue pour toute

valeur de æ et l'on ay —=0o pour x =0; mais le rapport - ep

croît indéfiniment lorsque x lend vers zéro. Nous dirons pour abréger que la dérivée est infinie pour æ = 0; la courbe qui représente la marche de la fonction est tangente à l’origine à l'axe des y.

RAT e a ftonclion Y=X WErE DAT

est nulle pour x —o, mais le rap- 1+e* |