Calculer l'intégrale double
er Vi x3— y3 dx dy,
étendue à l'aire de la portion du plan définie par les inégalités
12. Exemple de Schwarz (note de la page 333). — Étant donné un cylindre de révolution de rayon r et de hauteur 2, partageons la hauteur en m parties égales, et par les points de division menons des plans parallèles aux plans des deux bases; puis, dans les sections droites ainsi obtenues, inscrivons des polygones réguliers convexes de x côtés, de façon que Îa
génératrice qui passe par un sommet de ces polygones passe par le milieu de l’are sous-tendu par un côté dans les deux polygones voisins. Les sommets de ces polygones sont les sommets d’une surface polyédrale inscrite composée de 2» triangles isoscèles égaux, et l’aire de cette surface polyédrale est égale à
hr y Baate: 2 TL 2MNr SIN — 4r?{sin— | + .
n an mn?
La limite de cette expression, lorsque les deux nombres 7» et n aug--
RATES ie m ras mentent indéfiniment, dépend de la limite du rapport —- Cette limite n’est n?
égale à 277 h que si ce rapport tend vers zéro.
13* Généralisation de la formule (17) (n° 124). — La démonstration de cette formule semble exiger l'existence de la dérivée seconde Quv. Il est possible de se passer de cette hypothèse. En effet, la formule est vraie pour un polynome quelconque P(u,+e), si f(u, 6), f}, f{ sont continues dans le domaine A;,
| oP op, ne DEAR), (a) FPE v) (S du + T4) + J, Déros de dv.
Or, si la fonction + est continue dans le domaine A,, ainsi que les dérivées v,, ®,, il est possible de trouver un polynome P(u,v) tel que les différences @ — P, w,— P!,, g,— P', soient moindres en valeur absolue que tout nombre positif & dans A, (voër, par exemple, le Cours d'Analyse de M. de la Vallée Poussin). On peut donc choisir P(w, 6) de façon que les deux membres de la formule (15) diffèrent d’aussi peu qu'on le veut des deux membres de l'égalité (x) et, par conséquent, ils sont égaux.
14. Transformations ponctuelles qui conservent les aires. — Toute transformation ponctuelle définie par les formules
; OU(x,Y) 9 U(x, Y) D Ti La ua est telle que l’on ait
D(X, Y) sa
et, par conséquent, conserve les aires. Pour démontrer la réciproque, on supposera la transformation ponctuelle définie par les formules X = f(x, Y), p(æ, Y)=7y, ce qui donne D(X, Y) of . d D(x,Y) 0€ dd
