I. — INTÉGRALES MULTIPLES. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

141. Intégrales triples. — On définit les intégrales triples en procédant exactement comme pour les intégrales doubles (n°° 118- 119). Il n’y a qu’à remplacer les domaines à deux dimensions par des domaines à trois dimensions et l'aire par le volume. Soit F (x, 7,3) une fonction bornée dans un domaine borné de l’espace D. Imaginons ce domaine décomposé d’une façon quelconque en n domaines partiels di, ds, ..., dn, de volumes P,, Pa, ..., On, et soient M;, m; les bornes supérieure et inférieure de F dans W;. Les deux sommes

tendent respectivement vers deux limites I, L’ lorsque le nombre x augmente indéfiniment de facon que chaque domaine partiel diminue indéfiniment dans toutes ses dimensions, et l’on a l'£[:

La fonction F(x, y, 3) est dite intégrable dans le domaine D, si l’on a I — I, et la limite commune des sommes S et s est l’intéorale triple de F(x, y, z) étendue au domaine D. On la représente

EN ff F(x, y,2) dx dy ds, e (D)

etle domaine D estle champ d'intégration. Le nombre 1 est encore

par le symbole

la limite de la somme

(1) S'= SF (En nr Ci)P5,