I. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

(éi, ni Gi) étant les coordonnées d’un point quelconque du domaine d; ou de sa frontière.

Toute fonction continue est intégrable. Il en est de même de toute fonction bornée admettant un nombre quelconque de points de discontinuité, pourvu que l’on puisse enfermer tous ces points de discontunuité dans un domaine dont le volume soit inférieur à un nombre positif quelconque. C’est ce qui arrive par exemple pour une fonction bornée F(x, y, 3) admettant dans le domaine D une ou plusieurs surfaces de discontinuité.

Les intégrales triples se présentent dans diverses questions de Mécanique, en particulier quand on cherche la masse ou le centre de gravité d’un corps solide. Supposons la région (D) remplie d’une substance hétérogène et soit (x, y,z) la densité en un point, c’est-à-dire la limite du rapport de la masse renfermée dans une sphère de rayon infiniment petit, décrite du point (x, y,3) comme centre, au volume de celte sphère. Si u, et u sont les valeurs maximum et minimum de x dans la région (d;), il est clair que la masse renfermée dans cette région est comprise entre Lu P; et t #;; elle est donc égale à v;u(£;, ns, Gi), le point (E;, n, Gi) étant un point convenablement choisi de (d;). La masse totale

est donc égale à l’intégrale triple ff /udx dy dz, prise dans la

région (D).

142. Procédés de calcul. — Considérons d’abord une foncüon F(x,y,3) continue dans un domaine D, limité par deux plans 3=— 35, 5 — /, parallèles au plan 3—0, et un cylindre ayant ses génératrices parallèles à Oz, dont la section par le plan des æy est une courbe fermée C, limitant un domaine plan A. Supposons ce domaine plan A décomposé en domaines plus petits @y, Go, ..., An, d'aires wi, W2, ..., y, et considérons les cylindres ayant leurs génératrices parallèles à O3 et pour bases les domaines a,, &», ..., an. Menons ensuite les plans 3 — 2; D 2, nu 1}, 5, z2,, ., 341 formant une suite de nombres croissants compris entre 3, et Z. Le domaine D se trouve

ainsi décomposé en petits domaines cylindriques. Considérons la file de ces petits domaines situés dans le cylindre qui a pour base le domaine plan «&;. Soient (Ë;, n;) les coordonnées d’un point quelconque de ce domaine ; la portion de la somme S/, provenant

de cette file de petits domaines, peut s’écrire

we F(Ë, n6 Cu) (&1— 30) + F(Ë, m6, Ga) (22 — 3) A),

C4 étant un nombre quelconque compris entre 3, et 1, Cs» un nombre quelconque compris entre 3, et 32, el ainsi de suite. En choisissant convenablement ces nombres 6,,, G»,..., le coeffictent de w, est égal à D(E;, n;), où l’on a posé

Z (2) P(r, y) = fr F(x, y,3) dz.

j RS é La somme S', dont nous cherchons la limite, est donc égale

rt à d'P(E;, ti)w;; sa limite est l’intégrale double de [a fonc- ES |

tion P(x, y) étendue au domaine À, et l’on a

(3) VON) Fay s)drdyas= | | P(æ, y) dx dy L2 L2 “1D) e/

/(A) Z he dx dy F(x, y, 3) dz.

* (A) Sol

On a vu plus haut comment le calcul d’une intégrale double se ramenait lui-même à des quadratures. Par exemple, si le champ D est Le parallélépipède formé parles six plansx=x,,4=X, y =, — 39, 3 = 2, le domaine A est un rectangle, et l'intégrale

ùn

A Pom 2

triple a pour expression

+ ar [ ay | F(æ.y:2) 47.

Le sens de ce symbole est bien clair. On effectue la première intégration en regardant æ et y comme constants; le résultat est une foncuion des deux variables x et y, que l’on intègre ensuite. entre les limites y et Ÿ, en regardant + comme constant et y comme variable. Le résultat de cette seconde intégration ne dépend plus que de x, et on l’intègre de nouveau entre les limites x, et X.

Il y a évidemment autant de manières d’effectuer le calcul qu'il y à de permutations de trois lettres, c’est-à-dire six. On peut, par