I. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

exemple, écrire l'intégrale triple

Z x y Z | f ds [ az | F(x,7,z)dy = il W(z) dz, Z0 10 Yo Ed

en désignant par W(z) l'intégrale double de F(x, y, z) étendue au rectangle formé par les droites = xs, «=X, y=7Y0, y = Y. On serait aussi conduit à celte expression en commençant par décomposer D en petits parallélépipèdes par trois séries de plans parallèles aux plans de coordonnées et en évaluant la portion de S' provenant de la tranche de parallélépipèdes comprise entre les deux plans voisins 3 — 3/4, 3 — 3,; en prenant convenablement les points (Ë, n, €), cette tranche donne, dans S$', la somme

sr) (Zi 21-11),

et le raisonnement s’achève comme plus haut.

La formule (3) s'applique encore à une fonction bornée F(x, y, 3) admettant dans le domaine une ou plusieurs surfaces de discontinuité. Supposons, par exemple, que la fonction F soit discontinue sur certaines portions de deux surfaces S, et S: représentées par les deux équations

(S:) 3 = 91(x, ÿ), (So) 3 = par, ÿ),

w, et o2 étant deux fonctions” continues dans le domaine A (30 < 1 92 Z). Ces deux surfaces S, et S: décomposent D en trois régions en chacune desquelles la fonction F est continue. Pour fixer les idées, nous supposerons que l’on a :

Poele plans—z ets, F=/(x,7,2);

aEntre Siret So, F— fox, 7, 2);

3° Entre S,; et le plan 3 = 2, F— f;(x, y,2).

Chacune des fonctions fi, f2, fx est supposée continue dans le

domaine correspondant. La formule (3) s'applique encore au calcul de l’intégrale triple, pourvu que l’on pose (n° 75)

JÈ F(r;:y,3)dz

Pi PA 1 f(x, 7,23) d3+ fa(æ, 7,3) ds + [ Ÿ 290 Di T Pa

fa(x, FE z) da.

Cette remarque donne immédiatement le moyen de calculer l'intégrale triple d’une fonction continue F(x, y, :) dans un domaine D limité par un cylindre tel que le précédent et deux portions de surfaces 2, = 6,(x, y), 32 — v2(æ, Y), &1 et 2 étant continues dans le domaine plan A. Il n’y a pour cela qu’à prendre deux plans auxiliaires 3 — 39, 3 = 2 (20 < Di <C Po << L), et une fonction auxiliaire (x, y, z) égale à F(x, y, z) dans le domaine D et nulle en dehors de ce domaine. Le raisonnement du n° 121 s’ applique sans modification et l’intégrale triple de F(x, y, 3) dans D a pour valeur

| JR pre de Y,2) dz.

S1 le contour C du domaine À est formé de deux segments de droites parallèles à O y et de deux arcs de courbes Va OR Va = Va(x) (di L'b), on a aussi

b : n'a Pa (5) FPS F(x, y, 2) dx dy ds — da [ dy F(x, y, 3) dz. «/(D) «a Ÿs Pi

Les limites o, et w: de la première intégration dépendent à Ja fois de x et de y, les limites Ÿ, et , dépendent de x seulement, enfin a et b sont des constantes.

Lorsque le champ d'intégration D est limité par une surface fermée E, qui n’est rencontrée qu’en deux points par une parallèle à l’un des axes (comme une surface convexe), on peut effectuer les quadratures dans un ordre arbitraire, mais les limites sont en général tout à fait différentes, suivant l’ordre des intégralions.

Exemple. — Soit à évaluer l'intégrale triple f / IE dx dy ds, étendue au huitième .de la sphère x? + y? + 22 = R?, compris dans le trièdre Oxyz. Si l’on intègre d’abord par rapport à z, puis par rapport à y et enfin par rapport à æ, les limites sont les suivantes : æ et y étant donnés, z peut . varier de zéro à WR?—x?— y?; x étant donné, ÿ peut varier de zéro

à VR?— x?, et + varie de zéro à R. On a donc

ES rm RS sacdyde= [ de | ay | 3 da, 0 0