I. — CHANGEMENTS DE VARIABLES
et l’on en tire successivement
VR—a1— y 4 j£ 3 d3 = (R—a?— 7?) VR?—2x? 2e 4 nier [5 RE &t)y — : | LE (Rte ; | 0
CR à : 4. NX 3 : , et il reste à calculer l'intégrale définie 5 / (R2— +2)? dx, qui devient,
en posant æ = R cosv, T
3 L R# sintv de.
L'intégrale triple a donc pour valeur Te.
Remarque. — Au lieu d’évaluer d’abord la somme des éléments provenant d’une file de domaines cylindriques, on pourrait procéder autrement. Soit D un domaine borné, compris entre les deux plans parallèles 3 — 59, 5 — Z; décomposons-le d’abord en tanches par des plans 3 = 2; (Η1,2,..., m—1), 31, 3,
Pa Zm, formant une suite de nombres croissants compris entre £,
et Z. Décomposons ensuite chaque tranche en petits domaines cylindriques ; on voit encore que, en choisissant convenablement les points &, n, € dans chaque domaine partiel, la somme des éléments de la tranche comprise entre les deux plans 3 = %;, 3 — 3:51, a pour expression
(3; — 5) [ [ F(æx, y, 3:51) dx dy, Ai-4
À,, étant le domaine plan commun au domaine D et au plan 3 — z;,. Si donc on pose
ve) f f F(x, ÿ,3) dx dy, (À:)
A, étant le domaine plan que l’on vient de définir, l'intégrale P q ) £
triple a pour expression Z
fetes.
Pour évaluer une intégrale triple étendue à un domaine quelconque D, on le décomposera en une somme de domaines tels que
les précédents, par exemple en domaines tels qu'une droite parallèle à une direction fixe ne rencontre la surface limite en plus de deux points.
143. Formule de Green. — Il existe pour les intégrales triples une formule toute pareille à la formule (15) du n° 123. Considérons d’abord une surface fermée S qui n’est rencontrée qu’en deux points par une parallèle à
: RE OR PRE l'axe O3, et une fonction R(x, y, z) continue, ainsi que > à l'intérieur de PA :
cette surface. Tous les points de S se projettent sur le plan des æy suivant les points d’une aire A limitée par un contour fermé C. A tout point (x, y) de la région À correspondent deux points de coordonnées 3, = P1(T, Y) Et 32 = p2(+, y) de la surface S. Cette surface se trouve ainsi décomposée en deux morceaux S; et S; ; nous supposerons 31 < 32. Cela posé, l'inté-
grale triple .
[ff ar dy ds,
étendue à l’intérieur de la surface fermée S, peut s’obtenir en intégrant d'abord par rapport à z entre les limites 3, et 2 (n° 142). Le résultat de cette première intégration est R(x, y, 3:) — R(x,7, z1), et l’on doit ensuite prendre l'intégrale double
CR(æ, y, 2) — R(&, y, :1)] dx dy, nu
dans la région A. Or l'intégrale double INC 3) dx dy n'est autre
chose que l'intégrale de surface (n° 138)
sf R(x, y, 3) dx dy, (Se)
prise sur le côté supérieur de la surface S;. De même, l'intégrale double de R(x, y, 31), changée de signe, est l'intégrale de surface
Vi R(æx, y, 2) dx dy, (S1)
prise suivant le côté inférieur de S;. En ajoutant les deux intégrales, nous pouvons donc écrire
e 03 ES)
l'intégrale de la surface étant prise suivant le côté extérieur de S. Ce résultat s’applique aussi si la limite totale S du domaine comprend,
I. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. 363 outre les surfaces S; et S+, une portion de surface cylindrique dont les Là Là L} * * 0 , " 0R génératrices sont parallèles à O 3, car l'intégrale de surface {| 7 dx dy, L# LE
prise Le long de cette surface cylindrique, est nulle.
Cette formule s'étend, comme on l’a déjà expliqué plusieurs fois, à un volume limité par une surface de forme quelconque, et, en permutant >, y, 3, on en déduit deux autres formules toute pareilles,
ji ff tar as= [ [Perse dr ds LI fee f [ec Y,23) ds dx.
En les ajoutant, on obtient la formule générale de Green pour les intécriles triples
RO JR TGS +) dr dr a
= f P(x, y,z) dy ds + Q(x, y, 2) ds dx + R(x, y,3) dx dy, 8)
les intégrales de surfaces étant toujours prises suivant le côté extérieur. Pour retrouver les expressions du volume obtenues plus haut, il suffit Hesfaire P —: =o,ouQ=7y, P=R=0o,;ouR=3, P=Q—o.
144. Rapport de deux éléments de surface. — Pour établir la formule du changement de variables dans une intégrale triple, on peut suivre une méthode tout à fait analogue à celles des n°*124-125. Nous démontrerons d’abord une formule préliminaire. Soient
(6) T HA AS ANR 7 =9(x" NA 3'), 3 Y(T, a 3')
des formules définissant une: transformation ponctuelle dans l'espace; æ,y',z' sont les coordonnées Fais CAES d’un point m° par rapport à un système d’axes rectangulaires O'z"', O'y', O'z’, et æ, y, z sont les coordonnées du point correspondant 77 par rapport à un système d’axes rectangulaires Ox, Oy, Oz, de même disposition que le premier, et qui peut être confondu avec lui. Nous supposerons : 1° que le point #, y, 4 décrit un domaine borné (E), lorsque le point x', y', z' décrit un autre domaine borné (E'); 2° que les points de ces deux domaines se correspondent un à un d’une facon univoque; 3° que les fonctions f, +, Ÿ sont continues et admettent des dérivées partielles continues dans (E'); et que le jaco- D(x, 2 z) Dés, z.)
La Pétpondance entre les points des deux domaines peut être directe ou inverse. Soient m'ét,, m't,, m't, trois éléments linéaires formant un
bien ne s’annule pas dans (E”).
trièdre dans le domaine (E’); à ces éléments linéaires correspondent dans le domaine (E) trois éléments linéaires mt, mt, mts, formant aussi un trièdre, puisque le jacobien des fonctions f, w, 4, n’est pas nul au point mn! (cf. Exercice 13, p.161). Si ce trièdre mtitats a la même disposition que le trièdre m't,1,t:, on dit que la correspondance définie par les formules (6) est directe; elle est dite inverse dans le cas contraire. Cette définition peut être remplacée par la suivante. Soient S, S' deux surfaces correspondantes dans les domaines E, FE’, ayant deux côtés distincts, et F, l’ les courbes fermées qui les limitent respectivement. Choisissons sur ces contours deux sens de parcours se correspondant par les formules (6); à ce sens de parcours correspond un côté déterminé de chaque surface, d’après la convention qui à été faite au n° 139. Si ces deux côtés des surfaces S, S' se correspondent aussi par les formules (6), la correspondance définie par cès formules est directe ; sinon elle est inverse.
Gela posé, considérons sur les surfaces S, S’ deux côtés qui se correspondent dans la transformation ponctuelle considérée, et soient («, B, y), (a', 8’, y) les angles que font avec les axes les directions des normales à ces côtés. Supposons les coordonnées des points des deux surfaces S, S’ exprimées au moyen de deux paramètres w et »; on a expliqué plus haut ce qu’il fallait entendre par sens positif sur les contours F, [', et côtés positifs des deux surfaces. Si la correspondance est directe, au côté positif de S correspond le côté positif de S’, et d’après les formules (44) du n°139 et les formules analogues relatives à la surface S’, on a
DIET cu FD (AO FRA ENT ER cos y ds'— D{x 0) du dv,
do et do’ étant les éléments d’aires des surfaces. Si la correspondance est inverse, au côté positif de S correspond le côté négatif de S’ et cosy! doit ètre remplacé par — cosy’ dans la seconde formule, En divisant ces deux formules membre à membre, il vient
COos y do D(x, D(x y (7) DER ARRET Er) 200002 cosy" do D(u,r) D(u,e)
formule où l’on doit prendre le signe + ou le signe — suivant que la correspondance est directe ou inverse.
On peut faire disparaître les variables auxiliaires , 6 de cette relation : on a en effet
D(a,7).. D(J,9) Dix), Ds) DOS) D(u,v) D(z,y) D(u,v) D(y,3) D(u,e) D(fg) D(z,æ') D(z',æ') D(u,+) La relation obtenue étant homogène par rapport aux jacobiens Dre si on les remplace par les quantités proportionnelles cos’, cos B”, cosy’,
