LA D(:,2) + COSY

+ cos fi

D x [cos a’ | da’, D(x', y’) x!, B', y' étant les angles que fait avec les axes O'x', O'y', O'z' la normale extérieure à la surface S'; on doit prendre le signe + ou le signe — devant l'intégrale suivant que la correspondance est directe ou inverse. Gette nouvelle intégrale n’est autre que l'intégrale de surface (voir, n° 131, 132 et 138) D D( Me DL 4 DD ae g DCR) 2 dre pe PS) du dy, {S') D(y,3) D(z,x) D(x,7)

étendue à la surface S’ suivant le côté extérieur.

Appliquons à cette dernière intégrale la formule générale de Green; il vient

eo vas [ff le lrrersl

9 ! DCS 9) ra D(f,?) l ? U 1 À 7 |+ = à dx: [+ || ar RACE

En développant la fonction sous le signe intégral, on a deux sortes de

02 f do à Fest termes ; les uns, tels que Ÿ DER contiennent une dérivée du second

ordre, mais ces termes, on le voit aisément, se détruisent deux à deuxe. Quant aux termes qui ne renferment que des dérivées de premier ordre, leur somme est

9 DORE) , à DR) 0 De) Det).

dæ D(ÿ',3') ôy' D(z',z') ‘ 03 D(x, y ) DCE

On a donc aussi D(f,9,%) Par ER Va f [[ pt) do q dz SATA UC EE Rx, 7

et enfin, en appliquant le théorème de la moyenne,

Er nr D(F, ?, Ÿ) (9x Mine

(&, n, €) étant les coordonnées d’un point du domaine (E”). On déduit d’abord de cette formule que la correspondance est directe ou inserse, DC, w, Ÿ) D(æ,7, 3) cice 13, p. 161), puisque V et V’ sont essentiellement posilifs, et l’on peut encore écrire la formule (9)

suivant que le jacobien est positif ou négatif (cf. Exer-

DCf9, 4) DÉC TRE

Cette nouvelle formule (9') est entièrement analogue à la formule (17) du Chapitre VI, et l’on en tire la même série de conséquences. En particulier, on en déduit immédiatement la formule générale du changement de variables dans les intégrales triples; il suffit de reproduire sans modification la méthode du n° 193. Si F(+, y, z) est une fonction intégrable dans le domaine (E),ona

(10) JT J rer. dr dy ds

| | FD(J, 6,4) Do 5 PC hs 'axrhares PE A TETE

146. Changements de variables. Deuxième méthode. — [a formule (10) peut encore se démontrer de la facon suivante : Remarquons d’abord que, si cette formule a été établie pour deux ou plusieurs changements de variables particuliers, elle est vraie aussi pour le changement de variables obtenu en les effectuant successivement, d’après les propriétés connues du déterminant fonctionnel (n° 55). Si elle s’applique à plusieurs régions de l’espace, elle s’applique aussi à la région obtenue en les ajoutant.