I. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

Cela posé, nous démontrerons, comme dans le cas d’une intégrale double, que la formule s'applique à toute transformation où l’on ne change qu’une des variables indépendantes, par exemple à une transformalion de la forme

(11) EE pp, Cie # The ARE Le

Nous supposerons que les deux points M(x, y, 5) et M'(x’, y', 3’) sont rapportés au même système d’axes et qu’une parallèle à O z ne rencontre qu’en deux points la surface qui limite la région (E). Les formules (11) font correspondre à cette surface une autre surface limitant la région (E'), et le cylindre circonserit à ces deux surfaces, ayant ses génératrices parallèles à Oz, est coupé par le

plan 3 — o suivant une courbe fermée C. Tout point » de la région À, intérieure au contour C, est la projection de deux points

m, et m2 de la première surface, de coordonnées z, et 32, et de

deux points m°, m, de la seconde surface de coordonnées BEEN

Nous choisissons les notations de façon que l’on ait z, 32 et 3,<z,. Au point #4, les formules (11) font correspondre le

point #2! ou le point »,. Pour distinguer les deux cas, il suffit de | dù g: db +

consulter le signe de 5: Si — est positif, z augmente avec 3 ; les £ 03 03 < ;

points mn, et m, se correspondent, ainsi que les deux points 72

far” AR sr et m,. Au contraire, si — est négalif, z diminue quand z' augoz mente; rm, correspond à m°, et m3 à m,. Dans le premier cas, on a

Z2 39 F(x, y,2)dz = F[æ,y,4(x, 7; JS dr

dans le second cas on a, au contraire,

UL Fey s)de=— [| Le, 9 (as 9 1 de!

Dans les deux cas, nous pouvons écrire

Za 29 [ (12) ÿh F(æ,7,2)de= [ Flx, y, ÿ(æ, y12')] da’.

Si nous prenons maintenant les intégrales doubles des deux membres de cette égalité dans la région À, l’intégrale double

f dx dy f F(x,y,c)@s EE (A) * z1

n'est autre chose que l'intégrale triple ff F(x, y, z) dx dy dz,

prise dans la portion (E) de l’espace. De même l'intégrale double du second membre de (12) est égale à l'intégrale triple de

! ( 4 4 4 oŸ Flag, 4e y #1]

orise dans (E/), comme on le voit, en remplacant x ar æ'et Ï Ù ) E P par y’. On a donc, dans ce cas particulier,

feras = JS Jr 4ce 2

D(x, y,2) FROM UE. e | D(x, y, 2) se réduit à sr La formule (10) est donc établie pour les changements de variables de la forme (11).

La formule générale (10) s'applique encore aux changements de

variables définis par les formules

| dx' dy' dz';

or 1c1 le déterminant

(13) LE S(T V6) = (T7; J:r) AE

où la variable 3 ne change pas. Nous supposons que ces formules font correspondre point par point deux régions (E), (E!) de l’espace, et, en particulier, que les sections R, R' faites dans (E), (E’) par un même plan parallèle au plan z— o se correspondent