I, — DÉFINITIONS, — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES

port À tend vers deux limites différentes suivant que æ tend vers

zéro en restant positif, ou en restant négatif. Lorsque x est positif

! - æ Sr A DA ° x n Vi L et très petit, e* est positif et très grand; le rapport = tend vers l'unité; au contraire, six est négatif et très petit en valeur absolue,

t À TL

e* est très voisin de zéro et le rappor a pour limite zéro. Il

existe donc deux valeurs distinctes pour la dérivée, suivant la façon dont x tend vers zéro; la courbe qui représente la marche de la fonction a un point anguleux à l’origine.

D'une façon générale, toute ligne brisée, qui n’est rencontrée qu’en un point par une parallèle à Oy, définit une fonction conünue dont la dérivée a deux valeurs distinctes en chaque sommet.

On voit par ces exemples qu'il est facile de former des foncüuons continues n'admettant pas de dérivée pour certaines valeurs particulières de la variable. Mais les inventeurs du Calcul infinitésimal et leurs successeurs n'avaient jamais mis en doute qu’une fonction continue n’eût en général une dérivée. Il y avait même eu quelques tentatives de démonstration, insuffisantes 1l est vrai, lorsque M. Weierstrass est venu trancher complètement la quesuon, en donnant des exemples de fonctions continues qui n’admettent de dérivée pour aucune valeur de la variable (t). Ces fonctions n'ayant reçu jusqu'ici aucune application, nous ne nous en occuperons pas. Quand nous dirons par la suile qu’une fonction f(x) a une dérivée dans l’intervalle (a, b), il faudra toujours entendre par là, à moins de mention expresse, qu’elle admet une dérivée unique et finie pour chaque valeur de la variable comprise Eure #ret db: à:

15. Dérivées successives. — La dérivée d’une fonction f(x) est elle-même une autre fonction de x, f'(x); si f'(x) admet ellemême une dérivée, on appelle la nouvelle fonction la dérivée

x SUR " " seconde de f(x) et on la représente par le symbole y” ou f(x). On définira de même la dérivée troisième y” ou f(x) comme la

(!) Note lue à l’Académie des Sciences de Berlin, le 18 juillet 1872. On trouvera d’autres exemples dans le Mémoire de M. Darboux, sur les fonctions discontinues ( Annales de l’École Normale supérieure, 2° série, t. IV). Un exemple de M. Weierstrass est indiqué à la fin du Chapitre.

dérivée de la dérivée seconde, et ainsi de suite ; d’une manière générale, la dérivée ni" y{#) ou f(x) est la dérivée de la dérivée d'ordre (re Si, en prenant ainsi les dérivées successives, on n'arrive Jamais à une fonetion qui n’admet pas de dérivée, on peut imaginer cette suite d'opérations pr olongée indéfiniment; la suite des dérivées de la fonction f(x) d’où l’on est parti est illimitée. C'est ce qui a lieu pour la plupart des fonctions qui Le jusqu'ici quelque intérêt pratique. | | La notation qui précède est celle de Lagrange; on se sert aussi quelquefois de la notation D,y ou D,f(x), due à Cauchy, pour représenter la dérivée d'ordre nr. Nous verrons un peu plus loin la

EN

notation de Leibniz.

16. Théorème de Rolle. — L'emploi des dérivées dans l'étude des équations repose sur la proposition suivante, connue sous le

nom de théorème de Rolle :

Soient a et b deux racines de l’équation f(x) = 0: Si la fonction f(x) est continue et admet une dérivée dans l'untervalle (a, b), l'équation f'(x)—0 a au moins une racine comprise entre a et b.

En effet, la fonction f(x) est nulle par hypothèse pour w = a et pour æ — b. Si elle est constamment nulle dans l'intervalle (a, b), il en est de même de sa dérivée et le théorème estévident. DIR fonction f(x) n’est pas constamment nulle, elle prendra soit des valeurs positives, soit des valeurs négatives. Supposons, par exemple, qu'elle prenne des valeurs positives; elle prendra alors une valeur maximum M pour une valeur x, de x comprise entre &

et b (n° 8; théorème C). Le rapport

f(æi+ h) (ei) h

où l’on suppose À > o, est nécessairement négatif, à moins d’être nul, et la limite de ce rapport, c’est-à-dire f'(x,). ne peut être un nombre positif; on a donc f’(#,)£o. En considérant de même J'(æ,) comme la limite du rapport &

Em? En GA ne — À