I. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. 5h

La fonction sous Île signe f est le produit d’une fonction de £ par une

fonction de 1 et une fonction de €. L'intégrale triple est donc le produit 1 1 :

14 EP+QHIH2 (1 — E }s de if n9+7+1(4 . n)? d' A il tr(r mar dt, 0 0 0

ou, en introduisant les fonctions T [voir formules (33) et (54), n° 153 |,

F(p+g+r+3)T(s +1) à F(g+r+2)lT(p+1) Fe T(r+1)F(g +1). P(p+g+r+s+4) DOD Q REIN ON T9 ere TN

en supprimant les facteurs communs, il reste, pour valeur de l'intégrale

triple, F(p+0T(g+nP(r+1)F(s+1) T(p+g+r+s+é)

150. Intégrales multiples. — Les expressions purement an alytiques que l’on a obtenues pour une intégrale double et une intégrale triple permettent d'étendre la définition aux fonctions d’un nombre quelconque de variables indépendantes. Nous nous bornerons à indiquer sommairement fa marche à suivre.

Soient Zi, Lo, ... En Un.système de n variables indépendantes. Nous dirons, pour abréger, qu’un système de valeurs x°, æ°, ..., x attribuées à ces variables représente un point dans l’espace à 7 dimensions. Toute relation F(æ, de, ..., &n) — 0, dont le premier membre est une fonction continue, représentera de même une surface; si F est du premier degré, nous continuerons à dire que cette équation représente un plan. Considérons l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient certaines rela-

tions d’inégalité, telles que (30) Di(a, Fes cs Œn)SO (Ë—1,2, ..., À);

nous dirons que cet ensemble de points forme un domaine D dans l’espace à n dimensions. Si, pour tous les points de ce domaine, la valeur absolue de l’une quelconque des coordonnées æ; reste inférieure à un nombre fixe, on dira que D est tout entier à distance finie. Si les inégalités qui définissent D ont la forme suivante :

71 0 < < m1 Lo) es Tn=Tn=Tn)

(31) mémérl, ar

nous appellerons ce domaine un prismatoïde, et nous dirons que les n nombres positifs æ!—x} sont Îles dimensions de ce prismatoïde. Enfin nous dirons qu’un point du domaine D appartient à la frontière de ce domaine, si l’une au moins des fonctions 4; des formules (30) est nulle pour les coordonnées de ce point.

Cela posé, soient D un domaine fini et f(x, do, ..., An) UNE fonction continue dans ce domaine. Imaginons D décomposé en domaines plus

petits au moyen de plans parallèles aux plans æ;= 0 (i=1,2, ...,n). Prenons l’un quelconque de ceux des prismatoïdes déterminés par ces plans, qui sont tout entiers intérieurs à D; soient Ax;, Ag, ..., Aæ, les dimensions de ce prismatoïde, et £i, +, ..., £, les coordonnées d'un point quelconque appartenant au prismatoïde, La somme

(52) 5 —= ME TT Ge: .…..s En) AT Avr . ÀAly,

étendue à tous les prismatoïdes qui sont tout entiers à l'intérieur du domaine D, tend vers une limite I lorsque le nombre de ces prismatoïdes augmente indéfiniment, de façon que toutes leurs dimensions tendent vers zéro (1). On appelle cette limite l'intégrale nv de f(x, xa, ..., œn), prise dans le domaine D.

1= ff... [fa La, ce,» Tn) LE AT PRE

Le calcul d’une intégrale n?° se ramène encore au calcul de n intégrales - simples successives. Pour établir que la loi est générale, il suffit de montrer que, si elle est vraie pour une intégrale (n — 1}, elle s'étend à une intégrale n°°. Considérons pour cela un point quelconque

(A To, Nr Tn)

de D; si nous faisons abstraction pour un moment de la variable æ,. le point (æ1, %2, ..., Œn-1) décrit un certain domaine D', dans l’espace à (7 —1) dimensions. Nous supposerons que le domaine D satisfait à la condition suivante : à tout point (x1, d2, ..., Zn 1) intérieur à D’ correspondent seulement deux points sur la frontière de D, de coordonnées (1, To, ..., Æn13 XM)) et (1, Ta, ..., Æn15 &2)), les coordonnées x}? et x?) étant des fonctions continues des (an —1) variables x1, T9, «+. Tn1 à l'intérieur de D’. Si cette condition n’était pas satisfaite, on partagerait D en domaines assez petits pour vérifier séparément cette condition. Cela posé, considérons la file de prismatoïdes du domaine D, qui correspondent à un même point (Zi, Ta, ..., Tn 1); on démontre facilement qu'en choisissant convenablement les points (£1, E, ..., Eh), ces prismatoïdes donnent dans S une somme égale à

AT: Ati hrs Hi Te .. Ln) AE ER

[ej pouvant être rendu moindre que tout nombre positif pourvu que

(‘) Pour n = 2 ou n = 35, la limite de S est bien égale à l'intégrale double ou à l'intégrale triple, car la somme des aires ou des volumes des domaines négligés tend vers zéro,

I. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. DT toutes les quantités Ar; soient assez petites. Si nous posons

nm (33) P(x1, Ta, .….. That = ACTE Lo, ..., Ted (1)

Xn nous voyons que Î est égal à la limite de la somme POI, Le, -.:s Can) AT ATee. APnt,

c'est-à-dire à l'intégrale (n — 1)?!

(54) = ff [fee RURERSACER RAC ETES

dans le domaine D’. La loi étant supposée vraie pour une intégrale (n —1}°", elle est donc générale.

On pourrait encore opérer autrement. Considérons l’ensemble des points (21, Æ?, +.) Xnh1) pour lesquels la coordonnée x, à une valeur donnée; le point (21, æ2, ..., Æn-1) décrit dans l’espace à (7 — 1) dimensions un domaine à, et l’on voit sans peine que l'intégrale n° I est aussi égale à l'expression

O(æA) étant l'intégrale (7 — caf JR : [fan .. dTn-1 étendue au domaine à, et X1, X? les bornes inférieure et supérieure de æ, dans le domaine D. Quelle que soit la façon dont on opère, les limites pour les diverses intégrations que l’on a à effectuer dépendent de la nature du domaine D et varient en général avec l’ordre des intégrations. Il y à exception si D est un prismatoïde défini par les conditions

0 € € 0 EN PREPAESCR EE FAR TETE es

L'intégrale multiple a, dans ce cas, pour expression

X, RE x

I — dx; der SA f dax, ù “ xQ

et l’on peut intervertir d’une façon quelconque l’ordre des intégrations, sans changer les limites correspondant à chaque variable. La formule du changement de variables s'étend aussi aux intégrales no: Soient ! ! a (36) Di Gi(Lis Las +. Tn) (G—1;2$."\n)

des formules de transformation, faisant correspondre point par point à un domaine D', décrit par le point (x4, 2%, ...,æ,), un domaine D décrit par

je point (1, 2%, 0 rl 0na

(37) MIEUX FCPI Met tr ie de (D) 5 D'IOL TR s =} té F(o1, AC On) en on dE EAU L Ce (D') (Ti A.

La démonstration est toute semblable aux précédentes. Je me bornerai à indiquer, dans ses grandes lignes, la marche à suivre :

1° Si la formule (37) est vraie pour deux transformations, elle est vraie pour celle que l’on obtient en les effectuant successivement;

2° Tout changement de variables s'obtient par la combinaison de deux changements tels que les suivants :

(RO Ai is le Te M TR Ln = Pal Li Me ee NI (39) æ1= Y1(xi, -.., æn), ss nn Yn-1(Trs TROT A)

3° La formule (37) s'applique au changement de variables de la forme (38), comme il résulte de la forme (34) sous laquelle on peut mettre une intégrale n°. Elle s'applique aussi au changement de variables (39), d’après la seconde forme (35) de l'intégrale multiple, si l’on admet que la formule est établie pour les intégrales multiples d'ordre 7 —1. On démontrera donc de proche en proche que la formule est générale.

Supposons, pour donner un exemple, que l’on veuille calculer l'intégrale définie

= ff... fatar..(-m-2—..m)anasta, e

OÙ %1, A, ..., 4», $ sont des nombres positifs, dans le domaine D défini par les inégalités

OT, OZ, “Ce OS, Li + Loti. + TnSi.

Le changement de variables donné par les formules Ti Let. tn 4, Va rnb ..., etes remplace D par un domaine D' défini par les inégalités 0 <ÉiS 1, O£É2S1, ... OÉÉRA TE

et l’on a de plus, comme le prouve un caleul facile (n° 149),

DE“, La, .. ln )

D(E&1, ba, Hi En)

La fonction à intégrer prend la forme

Tét LED

Éd ran- put Ras HAS | e En (1 a £1)8 (4 nl Éo )@ TUE En An,

pur