II. — INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES
et l'intégrale cherchée s'exprime encore au moyen de la fonction
Tu +i1)T (a+)... T(an+1)T (8 +1)
40 lies — 50) T(ai+ a+... .+an+$+n+i)
II. — INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES. 151. Méthode générale. — Soient P(x, y), Q(x, y) deux fonctions des deux variables indépendantes x et y ; l’expression P dx + Q dy
n'est pas, en général, la différentielle totale d’une fonction des deux variables +, y. En effet, l'équation
(41) du = P dx + Q dy
est, comme l’on sait, équivalente à deux équations distinctes
; ; ou du (42) Dir OP ER TP A MER OS
différentions la première par rapport à y, la seconde par rapport à x; nous voyons que u(x, y) doit satisfaire aux deux relations
ds OP (CE 00) du. 0Q(æ, y) O0 dy OYOX dx
Pour qu'il existe une fonction uw (x, y) répondant : à la question, 1l faut donc que l’on ait identiquement PeNoP 20 (43) “7 rs
y 0x Cette condition nécessaire est aussi suffisante. En effet, il existe une infinité de fonctions u(æ, y) dont la dérivée partielle par rapport à æ est égale à P(x, y); toutes ces fonctions sont comprises dans la formule
u = f PCnNar+Y
Zo étant une constante choisie à volonté, et y une fonction arbitraire de la variable y. Pour que cette fonction u(x, y) vérifie l'équation (41), il faut et il suffit que sa dérivée partielle par rap-
port à y soit égale à Q (x, y), c'est-à-dire que l’on ait e
Mais on à, d’après la condition d’intégrabilité (43),
"9P x) JL TA = ji. À dr = Q(æ, y) — Q(æ0 Y),
et la relation précédente se réduit à
dY dy ce = Q(xs, y).
Le second membre ne dépend que de y; il y a donc une infinité de fonctions de y qui satisfont à cette relation. Elles sont comq prises dans la formule
‘Y Ve J! Q(To, Y) dy + CO, Yo
Jo étant une valeur particulière de 7, et Gune constante arbitraire. Il existe donc une infinité de fonctions w(x,7) satisfaisant à - l'équation (41); elles sont données par la formule
d ; (44) il Ne) de + f Q(%o, y) dy + C
et ne différent l’une de l’autre que par la valeur de la constante additive C.
Soit, par exemple, T+mMmy
la condition (43) est vérifiée, et l’on a, en posant 45 —0, Yo; T+m d u Ji UNE CE + [72 27 nee Qu e? + y? :
En effectuant les intégrations indiquées, il vient I É al u = 3 Hog(e?+ y?)15 + m arc tes + log y + CO,
ou, en réduisant,
I œ u = log (x?+ J?)+ marc tang— +0:
Il. — INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES. 381
La méthode précédente s'étend au cas d’un nombre quelconque de variables indépendantes. Nous développerons encore les calculs pour trois variables. Soient P, Q, R trois fonctions de æ, y, 3; l'équation aux différentielles totales
(45) du =P dx +Qdy+R dz est équivalente à trois équations distinctes
ou ou du de Les D — — Q, 52 PE R.
P. , pe ; 0?
En calculant de deux facons différentes les dérivées Dar ou u 0x 03 0y0z possible :
, on obtient trois conditions pour que le problème soit
oP 0Q 0P __oR 0Q 0R
(47) a door 9 en 07
Supposons-les satisfaites. D’après la première, il existe une mfinité de fonctions u (x, 7, z) dont les dérivées partielles par rapport à x et y sont respectivement P et Q; elles sont comprises dans la formule
È ” = [ Pays 2)de+ [ Q(Zo; Y, 3) dy + 2, Dent ai Te
Us ; : ; : ARR ue 17:
Z désignant une fonction arbitraire de z. Pour que la dérivée — soit égale à R, il faut, de plus, que l’on ait
* dP ; MOUV +) LUN 7 dut | be a+ =,
‘0 Yo
condition qui se réduit, en tenant compte des relations (47), à
dZ R(zx,7, 3)—R(to, 7,2) + R(to, Y; 2e RTo; Yo: 3) + Te = R(x, y, 3)
ou
az
ne — R(To, Yo: 3).
On en conclut qu'il existe une infinité de fonctions u (x, y, 2) satisfaisant à l’équation (45); elles sont représentées par la formule
x Ÿ 3 (48) u fl Pr, Dds+ [ Q(xo, ; s)dy+ [| R(To; Yo, 3) d3+C, VX Ye =
Los Vos So étant trois valeurs numériques choisies à à volonté, et C une constante arbitraire.
(æ, y) des 152. Étude de l'intégrale f P dx + Q dy. — La question
(Lo, Yo) précédente peut être traitée à un autre point de vue qui permet
une étude plus approfondie et conduit à des résultats nouveaux. Soient P(x, y) et Q(x, y) deux fonctions continues, et admettant des dérivées partielles du premier ordre continues, dans une région À limitée par un seul contour fermé C; il peut d’ailleurs arriver que cette région À embrasse tout le plan, ce qui revient à supposer le contour C rejeté à l’infini. L'intégrale curviligne
Le dx + Q dy,
prise le long d'un chemin L situé tout entier dans À, dépend en général du chemin d'intégration; nous allons d’abord -chercher à quelles conditions cette intégrale ne dépend que des coordonnées (%o, Yo); (T1, Y1) des extrémités de cette ligne. Soient M et N deux points quelconques de la région À, et L,, L’ deux chemins joignant ces deux points, sans se croiser entre les extrémités: ils forment, par leur réunion, un contour fermé. Pour que les intégrales curvilignes prises le long de L et de L' soient égales, il faut
évidemment et il suffit que l'intégrale prise le long du contour fermé que forment ces deux lignes, en marchant toujours dans le même sens, soit nulle. La question proposée est donc équivalente à celle-ci : Que faut-il pour que l'intégrale curviligne |
frar+ear,
prise le long d’un contour fermé quelconque situé dans À, soit nulle ?
La réponse se déduit immédiatement de la formule de Green,
(49) | Par+Qdy=ff(5-5) dx dy, , * (C)
où C est un contour fermé quelconque situé dans À, et où l’intégrale double est étendue à l’intérieur de C. Ilest clair que si les dérivées des fonctions P et Q satisfont à la relation (43) l’inté-
