INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES

grale cuvviligne du premier membre est toujours nulle. Cette condition est nécessaire. En effet, si — ee n’est pas identique ment nul dans la région À, comme c’est une fonction continue, on pourra toujours trouver une région & assez petite pour que le signe soit constant dans a; il est clair que l'intégrale curviligne prise le long du contour de a ne pourra être nulle, d’après la formule (49 )-

Si la condition (43) est vérifiée identiquement, deux chemins L, L', ayant les mêmes extrémités M, N et ne se croisant pas entre ces extrémités, donnent la même valeur pour l’intégrale curviligne. Il en est encore de même s'ils se coupent un nombre quelconque de fois entre M et N, car il suffit de les comparer à un troisième chemin 1”, ne rencontrant aucun des deux premiers, sauf aux points M et N.

Cela posé, supposons que l’une des extrémités de la ligne d’intégration soit un point fixe (&o, Yo), la seconde extrémité (x, Y) étant un point variable de À; l'intégrale |

(æ, y) (50) F(x,»)=f Pdr+Qdr,

(x, Yo) prise suivant un chemin de forme arbitraire, ne dépend que des coordonnées (x, y) de l'extrémité variable. Les dérivées partielles de cette fonction sont précisément P(x, y) et Q(x, y). On a, par

exemple, (x+Ax, y)

Ex Ar, y)=F(x,y)+ Péreyidr, (2,9) car on peut supposer que l’on va d’abord du point (Zo, Yo) au point (x, y}, puis du point (x, 7) au point (æ + Ax,y) en restant sur la parallèle à Ox et, le long de cette droite, on a dy — 0. Appliquons la formule de la moyenne; nous pouvons écrire F(æ+ Ar, y)—F(x, 7)

ue P(æ +0 A%, y) (0 < 1);

en faisant tendre Ax vers zéro, il vient F},— P, et l’on verrait de même que l'on a F,— Q. L'intégrale curviligne F(x, y) vérifie donc l'équation aux différentielles totales (41), et l’on obtient l'intégrale générale de cette équation en ajoutant à F(æ,y) une constante arbitraire.

La nouvelle formule est plus générale que la formule (44), puisque le chemin d'intégration reste indéterminé: Il est, du reste, facile d’en déduire la formule (44). Pour éviter toute ambiguïté, désignons par (Z5, Yo); (Æ1, Y1) les coordonnées des deux extrémités, et prenons comme chemin d'intégration les deux droites = Lo; Y = Yi. Le long de. la première on et y varie de y, à y, ; le long de la seconde, on a y = y, dy = 0, æ varie de æ9 à æ,. L'intégrale est donc égale à

ya + Q(ro 7) dy + f P(z, 02,

Yo * Lo

c’est, à une différence de notation près, la formule (44).

Mas il peut être plus avantageux de prendre un autre chemin d'intégration. Supposons qu’en posant x—f(t), y =eœ(t), et faisant varier t de t, à t,, le point (x. y) décrive un arc de courbe

0 ; P + joignant le point (x, Yo)aupoint(x,;,yi);ona

(1, Y4) li [ Par+Qdy=f IP nfto+Q( peter (Xo, Yo) to

et l’on na plus qu'une quadrature à effectuer. Si l’on suit, par exemple, la ligne droite, on posera x = r,+t(x;—x), FY=Vo+t(Yi— Yo) et l’on fera varier t de o à 1.

Inversement, si l’on connaît une intégrale particulière P(x, y) de l'équation (41), on en déduira l'intégrale curviligne par la for-

mule - Le, y) Pdz+Q dy = P(x, y) — P(xo, Yo),

(Lo; Jo)

qui est l’analogue de la formule (8) du Chapitre IV.

153. Périodes. — On peut étudier des cas plus étendus. Observons d’abord que la formule de Green s'applique aussi à des aires limitées par plusieurs contours. Considérons, pour fixer les idées, une aire À limitée par un contour extérieur C et deux contours C!, C”, intérieurs au premier ( fig. 30), et soient P et Q deux fonctions continues, ainsi que leurs dérivées du premier ordre, dans celte aire. (On doit regarder les portions du plan intérieures aux contours C', C’comme ne faisant pas par de A; onne suppose