II. — INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES

rien sur les fonctions P et Q dans ces deux régions.) Joignons les contours C’, C’ au contour fermé C par les transversales ab, cd. Nous obtenons ainsi un contour fermé abmcdndcpbaga ou F, qui peut être décrit d’un seul trait. Si nous appliquons la formule de Green à l’aire limitée par ce contour, les intégrales curvilignes

Fig 30.

provenant des transversales ab et cd se détruisent, car chacune d'elles est décrite deux fois avec des sens différents, et il reste

fraæ+ouf [(R D) de dr,

l’intégrale curviligne étant prise le long du contour total de l'aire À, c’est-à-dire le long des trois contours G, C!, C” dans le sens indiqué par les flèches, de facon à avoir toujours à gauche l'aire À.

s : ; 08 : 0Q oP

Si les fonctions P et Q vérifient la relation mr dans la région À, l’intésrale double est nulle et nous pouvons écrire la relation obtenue

1 P dx + Q dy,

(51) f Par+@dy= f Pdr+Ody+ 7 (C) (C’)

en Convenant maintenant de prendre les trois intégrales curvilignes dans le même sens.

Cela posé, reprenons une région À limitée par un seul contour C, et soient P, Q deux fonctions conunues, ainsi que leurs oP 0

dérivées, vérifiant la relation 5 — Lx sauf en un nombre fini de

points où l’une au moins des fonctions P, Q est discontinue. Nous supposerons, pour fixer les idées, qu'il y ait dans A trois points à, b,c de discontinuité. Entourons chacun de ces points d’une circonférence de rayon très pelit et Joignons ces circonférences au

contour C par une coupure ( fig. 31). L'intégrale f P dx + Q dy,