PE P

L2 [2 L2 L x L2 ë L2 prise depuis un point fixe (75, ÿ,) jusqu’à un point variable (x, y) sur une ligne ne franchissant aucune coupure, a une valeur unique en chaque point, d’après le cas déjà étudié, car le contour OC, les

Fist:

coupures et les petites circonférences forment une seule ligne pouvant être décrite d'un seul trait continu. Nous désignerons par F(x, y) la valeur de cette intégrale prise suivant le chemin direct allant de M,(x5, yo) en M(x, y).

On appelle /acet le chemin composé de la ligne droite joignant le point M, à un point «infiniment voisin de a, de la petite circonférence de rayon aa’ et de centre «, et de la droite a M,. L'intégrale curviligne / P dx + Q dy, prise Le long d’un lacet, se réduit à l'intégrale curviligne prise le long de la circonférence. Cette der- # nière intégrale n’est pas nulle en général, si l’une des fonctions P ou Q est infinie au point a, mais elle est indépendante du rayon de la petite circonférence; c’est une constante Æ 4, le double signe correspondant aux deux sens de parcours. Nous désignerons de même, par Hs et ©, la valeur de l'intégrale curviligne prise le long d’un lacet décrit autour de l’un des points singuliers bou c.

Cela posé, tout chemin joignant le point M, au point M peut se ramener à une suite de lacets, suivis du chemin direct allant de M, en M. Par exemple, le chemin M, mdef M peut se ramener à la suite des chemins suivants M, xdM,, M, deMs, MefM,, M,fM; le chemin M,ymdM, peut à son tour se ramener à un lacet décrit autour du point singulier a, et de même pour les autres. Enfin, M, fM est équivalent au chemin direct. Il s'ensuit que, quel que soit le chemin d’intégration, la valeur de l'intégrale curviligne est

Il. — INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES. 387

de la forme (52) PC Pi PP M) Em run + p©,

M, A, p élant trois nombres entiers, positifs ou négatifs, absolument quelconques. Les quantités &, 15, © sont les périodes de lintégrale curviligne. Cette intégrale est donc une fonction des variables +, y, qui admet une infinité de déterminations, et nous voyons l’origine de ces déterminations multiples.

Remarque.— La fonction F(x, 7) est une fonction bien déterminée dans la région A, quand on a tracé les coupures ax, DÉS mais on doit remarquer qu’en deux points infiniment voisins tels que m, m/, de part et d’autre d’une coupure, la différence

E(m) — F(m!) a une valeur finie. On a. en effet 2 y

mn mn’ Mo ab == “te —— 15 oi A 5 M, OTre.

12) mn | ZI) lan CE ZM, M !

0 Se rrl

ce qui peut s’écrire

mais / est infiniment petit, et il reste In" E(m)— F(m') = A.

La différence F(m) — EP) est donc constante et égale à À tout le long de a. Il en est de même pour les autres coupures.

Exemple. 2e L'intégrale curviligne

r dy — y dx

2 1 2 SU) “s voi

présente un seul point critique, l’origine. Pour avoir la période correspondante, intégrons le longe du cercle x? + y?—c?:on a l 5 5 NE UN

VE p COS, MO SIntw, 2 dy — y dx = 0? dw,

et la période est égale à 1h dur. La vérilication est immmes

diate, car on a sous le signe f la différentielle totale de arc tang =.

154. Racines communes à deux équations. — Soient X, Y deux fonctions continues des variables +, y, dans une région A limitée par un seul contour fermé C; nous supposons que les dérivées partielles du premier ordre sont aussi continues.

X dY — Y dX D QE de elle est la différentielle totale de arc ang Le Il s’ensuit que l’intégrale

définie

L'expression satisfait à la condition d’intégrabilité, car

X dY — Y ax

à 2 ne X2+ Y

prise le long du contour C dans le sens direct, est nulle si les coefficients de dx et de dy sous le signe restent continus à l’intérieur de CG, c’est-

à-dire si les deux courbes X — 0, Ÿ — o n’ont aucun point commun à lintérieur de ce contour. Mais si ces deux courbes ont un certain nombre de points communs &, b,c, ..., l'intégrale (53) est égale à la somme des intégrales prises dans le sens direct le long des petites circonférences décrites des points a, b, c, ... comme centres. Soient (x, 8) les coordonnées d’un

de ces points communs; nous supposerons qu’en ce point le déterminant.

fonctionnel PARUS n’est pas nul, c’est-à-dire que les deux courbes X = 0, D (x, y)

Y —o ne sont pas tangentes en ce point. Nous pouvons alors décrire du point (x, B) comme centre un cercle c de rayon assez petit pour que le point (X, Ÿ) décrive autour du point (0, 0) une petite portion de surface plane, limitée par un contour y, qui corresponde point par point au cercle c (n°° 40 et 124).

Lorsque le point (x, y) décrit la circonférence c dans le sens direct, le point (X, Y) décrit le contour y dans le sens direct ou dans le sens rétrograde, suivant le signe du déterminant fonctionnel dans ce petit cercle. Or

l'intégrale définie le long de la petite circonférence est égale à la variation T

de arc tang: et par suite à +27. En raisonnant de même pour toutes

les racines, on en conclut que l’on a

X dY — Y 4x (54) JR = 27 (P—N), (GE ES

P désignant le nombre des points communs aux deux courbes pour les- D'EXSENS D(x,7) le déterminant est négatif.

L'intégrale définie du premier membre est aussi égale à la variation

quels est positif, et N le nombre des points communs pour lesquels

se ME de arc Lang le long de CG, c'est-à-dire à l’indice de la fonction Y lorsque

le point (æ,y) décrit le contour C. Si les fonctions X, Y sont des poly-

Né