II. — INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES

nomes, ét si le contour G est formé d’arcs de courbes unicursales, on est ramené à calculer l'indice d’une ou plusieurs fonctions rationnelles, ce qui n’exige que des opérations élémentaires (n° 79). D'ailleurs, quelles que soient les fonctions X, Y, on peut toujours calculer l’intégrale définie (54) avec une erreur inférieure à zx, ce qui suffit, puisque le second membre doit être un multiple de 27%.

La formule (54) ne fait connaître le nombre exact des points communs aux deux courbes que si le déterminant fonctionnel conserve un signe constant à l’intérieur de C. Des travaux récents de M. Picard ont permis de compléter ce résultat (1). |

155. Extension des résultats précédents. — Les résultats des derniers paragraphes s'étendent sans modification essentielle aux intégrales curvilignes dans l'espace

ARE (55) WE fi Paz +tOdr+R ds.

(x 0» Yo» So)

Nous désignerons par P, Q, R trois fonctions continues ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre, dans une région (E) de l’espace, limitée par une seule surface fermée S. Cherchons d’abord les conditions pour que l'intégrale curviligne précédente ne dépende que des extrémités (To, Yo, 20), (&, y, 3) de la ligne d'intégration. Cela revient encore à chercher dans quels cas l'intégrale curviligne, prise le long d’une courbe fermée quelconque F, est nulle. Or, d’après la formule de Stokes (n° 139), cette intégrale curviligne est égale à l'intégrale de surface

0/00 0P° DE 00" ù ee JR Mn ave (s 2)

étendue à une surface Y limitée par le contour l'. Pour que cette intégrale de surface soit nulle, quelle que soit le contour T,, il faut évidemment et il suffit que l’on ait

7 op 0Q, 2Q 0R

oP 0R 0 0x” 03 0Y” 03 0x .

Si ces conditions sont remplies, Ü est une fonction des variables +, y, z, dont la différentielle totale est P dr + Q dy +R dz, et qui est uniforme dans la région E de l’espace. Pour avoir la valeur de U en un point, on pourra choisir arbitrairement le chemin d'intégration.

Si les fonctions P, Q, R vérifient les relations (56), mais deviennent infinies en tous les points d’une ou plusieurs lignes dans (E), on en déduit des conséquences analogues à celles qui ont été développées au n° 153.

Si, par exemple, l’une des fonctions P, Q, R devient infinie en tous les

(1) Traité d'Analyse, t. II.

points d’une courbe fermée y, l'intégrale U admettra une période égale à la valeur de l’intégrale curviligne prise le long d’un contour fermé traversant une fois, et une seule fois, une surface © limitée par la courbe +. |

On peut aussi se proposer, pour les intégrales de surface, une question tout à fait pareille à celle qui a été traitée pour les intégrales curvilignes. Désignons par A, B, C trois fonctions continues, ainsi que leurs dérivées du premier ordre, dans ia région E de l’espace limitée par une seule surface fermée S. Soit Ÿ une surface prise dans E, et limitée par un contour de forme quelconque l. L'intégrale de surface

(57) 1= f [| A dy ds + Bas de + Cardy J JS

dépend en général de la surface S elle-même, et non pas seulement du “contour F, Pour que cette intégrale ne dépende que du contour Fil faudra que l'intégrale double étendue à une surface fermée quelconque prise dans E soit nulle. La condition pour qu'il en soit ainsi nous est donnée immédiatement par la formule de Green (n° 143). Nous savons, en effet, que l'intégrale double précédente, étendue à une surface fermée, est égale à l'intégrale triple

10 AREORS :

RES Mere

étendue au volume limité par cette surface. Pour que cette dernière intégrale soit nulle, quel que soit ce volume, il faut évidemment que les fonctions À, B, GC vérifient la relation

0À ‘ 0B dC

58 ni sn 0æ dy 02

et cette condition est suffisante.

La formule de Stokes en donne une vérification facile, En effet, étant données trois fonctions A, B, C vérifiant la relation (58), on peut, d’une infinité de manières, déterminer trois autres fonctions P, Q, R, telles que l’on ait

(59) — —.— = À, — — — — DR RE Ed

D'abord, si ces équations admettent une solution, elles en admettent une infinité, car elles ne changent pas quand on remplace P, Q, R par Où OÀ OX

RE T f PE y Fo? SA PS ME 0

respectivement, À étant une fonction quelconque de x, y, 3. Cela étant,

prenons R — o; on tire des deux premières relations (59)

P= f B(x, 7,2) d3+o(x, y}, Q=—f A(x, y,23)ds+4%(x, y),

oB gg ; # :31 (È AE A ne ui W

ou, en tenant compte de la condition (58),

0 (Le

D — GE = Ce: 7);

on peut encore choisir arbitrairement une des fonctions +, 4.

Ayant ainsi déterminé trois fonctions P, Q, R satisfaisant aux équations (59), l'intégrale de surface est égale, d nie la formule de Stokes, à D rue curviligne

D D Se (T)

elle ne dépend donc que du contour l.