I. — DÉFINITIONS. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES

où k est positif, on verra de la même facon qu’on doit avoir f'(æ,)Zo. La comparaison de ces deux résultats prouve qu'on a nécessairement f'(æ,) = 0.

17. Formule des accroissements finis. — Soient f(x) et o(x) deux fonctions continues dans l'intervalle (a, b), et admettant une dérivée pour toute valeur de x dans cet intervalle (les limites n'étant pas comprises ).

Nous pouvons déterminer trois coefficients constants À, B, C tels que la fonction auxiliaire

Y(x)=Af(x) +Bo(x)+ 0 soit nulle pour x — à et pour x = b. Il faut et il suffit pour cela qu’on ait Af(a)+Bo(a)+C=o, Af(b)+Bo(b)+CG=o; on en déduit, en retranchant membre à membre, A[J(a)—f(b)]+ Bfp(a) — 9(8)] = 0.

Comme les relations précédentes ne déterminent que les rapports des coefficients À, B, C, on peut prendre

et la valeur correspondante de C s’obtient immédiatement. Les coefficients À, B, C étant ainsi déterminés, la fonction auxiliaire d(x) est nulle pour z— a et pour æ—b; d’ailleurs elle admet une dérivée pour toute valeur de x comprise dans l'intervalle (a, b), comme les fonctions f(x) et w(x) elles-mêmes. Il existe donc un nombre c compris entre @ et b qui annule la dérivée

L'(x) — Af"(æ) + B o'(æ).

Remplaçons A et B par leurs valeurs; 1l vient

[e(a)— pb) f'(e) + [f(b) —f(a)l?" Ce) = 0,

ou, en divisant par ®'(c)[o(a) — o(b)|,

SE) ta) fe), p(o)—œ(a) (ec)

Faisons dans cette formule 9(x)—x; nous pouvons énoncer le

théorème suivant :

Soit f(x) une fonction continue dans l’intervalle (a; b) admettant une dérivée pour toute valeur de x comprise entre a et b. On a la relation

(2) f(b)—f(a)= (b—a)f(c), c désignant un nombre compris entre a et b.

Cette formule (2) est la formule des accroissements finis proprement dite ou formule de la moyenne. On remarquera que la démonstration ne suppose pas la continuité de la dérivée ni l’existence de cette dérivée pour les valeurs limites x = a, x = b. L'interprétation géométrique esltrop connue pour qu'il soit nécessaire de la rappeler 1c1.

De cette formule on déduit que, si la dérivée f(x) est nulle dans tout l'intervalle (a, b), la fonction f(x) conserve une valeur constante dans cet intervalle; car l’application de la formule à deux valeurs æ,, &2, appartenant à l'intervalle (a, b), conduit à la relation f(x:) = f(x;). Il en résulte que, si deux fonctions admettent la même dérivée, leur différence est constante et la réciproque est évidente. Quand on connaît une fonction F(x) ayant pour dérivée une fonction donnée f(x), on obtient toutes les autres fonctions ayant la même dérivée en JA à F(x) une constante arbitraire (!). |

Voici une autre conséquence de la formule (2), qui nous sera souvent utile. Supposons que la dérivée f’(x) soit bornée dans

(!) On applique quelquefois ce théorème sans avoir égard à toutes les conditions de l’énoncé. Soient, par exemple, f(æ) et y(æ) deux fonctions continues, admettant des dérivées f'(æ), +'(æx), dans un intervalle (a, b). Si, entre ces quatre fonctions, on a la relation f'(æ)v(x)— f(x)+#'(æ) =0o, on en conclut

que la dérivée de la fonction “ est nulle et, par suite, que le rapport = est cons- ?

tant dans l’intervalle (a, b). Mais la couclusion n’est absolument légitime que si la fonction (x) ne s’annule pas dans l'intervalle (a, b). Supposons, pour fixer les idées, que (x) s’annule, ainsi que w'(x), pour une valeur c de æ comprise entre a et b. Une fonction f(x) égale à C;v(x) entre a et c, et à C,w(æx) entre c et b, GC, et C, étant deux constantes différentes, est continue et admet une dérivée dans l'intervalle (@, b), et la relation proposée est bien vérifiée pour toute ‘ valeur de x comprise dans cet intervalle. L'interprétation géométrique est facile.