I. — RÈGLES DE CONVERGENCE

série en changeant la valeur d’un nombre fini de termes de cette série; car cela revient à augmenter ou à diminuer toutes Îles sommes S, d’une quantité constante, à partir d'une valeur assez grande de nr. En particulier, une série est convergente ou divergente en même temps que la série obtenue en supprimant un certain nombre de termes au début.

4° Soient S la somme d’une série convergente, S, la somme des r + 1 premiers termes de la série, et R, la somme de la série commençant au terme U»44; si l’on prend pour valeur approchée de S la somme S, des r + 1 premiers termes, l’erreur commise est évidemment égale à h Puisque S, a pour limite S lorsque 7» augmente indéfiniment, la différence R, tend vers zéro, et l’on peut Loujours prendre un nombre de termes assez grand pour que l’erreur commise en remplaçant S par S, soit moindre que tout nombre donné à l’avance, du moins théoriquement. Il suffit de connaitre une limite supérieure de R, pour se rendre compte de l’approximation obtenue. Il est clair que, dans la pratique, les seules séries qui se prêtent aux calculs numériques sont celles pour lesquelles le reste R, tend assez rapidement vers zéro.

157. Séries à termes positifs. — Les séries dont tous les termes sont positifs ont une grande importance, et nous commencerons par les étudier. Dans une telle série, la somme Sa va en Croissant avec A; pour que la série soit convergente, il suffira donc que cette somme S, reste inférieure à une limite fixe, quel que soit n.

- Le procédé le plus général pour décider de la convergence ou de

la divergence d’une série consiste à comparer la série proposée à une autre série déjà étudiée. On s'appuie pour cela sur les deux propositions suivantes :

1° Si une série à Lermes positifs a Lous ses termes inférieurs ou au plus égaux respectivement à ceux d’une autre série convergente à termes positifs, la première série est convergente.

Car la somme S, des n premiers termes de la série proposée est évidemment plus petite que la somme S/ de la seconde série; elle a donc une limite S inférieure à S'.

2° Si une série à termes posilifs a tous ses termes plus grands respectivement que ceux d’une série divergente à termes positifs,

elle est également divergente.

Car la somme des 7 premiers termes de la première série est supérieure à la somme des # premiers termes de la seconde, et par suite augmente indéfiniment avec n.

On peut faire la comparaison de deux séries d’une autre facon, en s'appuyant sur le lemme suivant : Soient

(U) Uj HU + Ut... Un...

CVS Po ip +... + Pr +... e

deux séries à termes positifs. Si la série (U) est convergente et

Pn+1 Er PE 1

Un série (V) est aussi conve rgente. Si la série (U) pes divergente et

si, à partir d’un certain rang, on a constamment +!

: +1 Pn+1 si, à partir d’un certain rang, on a constamment +! Te Me 5 GE Un 27

série (V) est également divergente.

Pour démontrer la première partie, supposons que l’inéga-

On+1

lité

[ZA , LR di € Ê << —< soit vérifiée pour n = p. Comme on n’altère pas la

C7 Un

convergence d’une série, n1 le rapport d’un terme au précédent, en multipliant tous les termes par un même facteur constant, on peut supposer P»<< Up, et 1] est évident que l’on aura 6, us puis Vue ie. la eee (V) sera donc convergente. La seconde partie du lemme s'établit de la même façon.

Étant donnée une série à termes positifs, de caractère connu, on peut la prendre comme terme de comparaison, et l’on obtient ainsi deux propositions permettant dans certains cas d’affirmer la convergence ou la divergence d’une autre série à termes positifs, suivant que l’on compare les termes eux-mêmes des deux séries, ou les rapports de deux termes consécutifs.

158. Règles de Cauchy et de d’Alembert. — La série la plus simple que l’on puisse prendre comme terme de comparaison est la progressiongéométrique de raison 7, qui est convergente si r <1, et divergente si rZ1. La comparaison d’une série à termes positifs avec une progression géométrique conduit à la règle suivante, due à Cauchy :

Vs L: ot AUTRES . .

Lorsque, dans une série à termes positifs, un est, a partir d’un certain rang, constamment moindre qu'un nombre fixe,

. TR À ; 2 . y— 2 è inférieur à l'unité, la série est convergente; si Vu, est, à partir

I. — RÈGLES DE CONVERGENCE. 397 d'un certain rang, constamment supérieur à l'unité, la série est divergente.

Dans le premier cas, on a, en effet, Vue et, par suile, u < £". Les termes de la série sont done, à partir d’un certain rang, moindres que ceux d’une progression géométrique de raison plus petite que l’unité. Dans le second cas, au contraire,

1 Ÿ RE , , ’ on a Vun>>1 et un >1; le terme général ne tend donc pas vers zéro.

x te ; ( . Ne La rèvle précédente est applicable toutes les fois que Vu tend vers une limite, et l’on peut encore énoncer la proposition suivante :

US CRE . . . r .

Se VUn tend vers une limite l, lorsque n croit indéfiniment, la série est convergente si l'est inférieur à un, et divergente st l'est supérieur à un.

Si {— 1, il y a doute, sauf dans le cas où Vün tend vers l’unité en lui restant supérieur; la série est alors divergente. ” En comparant de même le rapport de deux termes consécutifs d'une série à termes positifs au rapport de deux termes consécutifs d’une progression géométrique, on ‘obtient la règle de

d'Alembert :

Lorsque, dans une série à termes positifs, le rapport d’un terme au précédent est, à partir d'un certain rang, inférieur à un nombre fire plus petitque l'unité, la série est convergente. Si ce rapport est, à parur d'un certain rang, supérieur à l'unité, la série est divergente.

PS £ ; Us On en déduit comme corollaire que, st le rapport à tend

vers une limite l, lorsque n augmente indéfiniment, la série est convergente si l<1,et d'vergente sil 1. Le seul cas dou-

S à S € Un+1 d CTP ] .

leux est celui où L — 1, à moins que —— ne tende Vers ur En ul nm

restant supérieur. La série est alors divergente. | -

139. Remarques diverses. — I. La règle de Cauchy est plus générale que celle de d’Alembert. Supposons, en effei, que les termes d'une série soient, à partir d’un certain rang, plus petits que ceux d'une progression géométrique décroissante: le terme pénéral u, Sera, pourvu que n soit plus grand qu'un nombre fixe p, inférieur à Ar”, À étant une constante et 7

» , RIT FF, étant plus petit que un. On aura donc Wu, <rA?, et le second membre

a pour limite r lorsque 7 augmente indéfiniment. En désignant par Æ un nombre fixe compris entre 7 et 1, on aura donc, à partir d’un certain rang, Wu < k. Nous sommes donc toujours dans un cas où la règle de Cauchy est applicable, mais il peut se faire que le rapport prenne des valeurs supérieures à un, aussi loin qu’on aille dans la série. Prenons,

par exemple, la série

1+r|sina| +7r?|sin2a|+...+7r2|sinrmœl.

x , TDYES TS MASSE CT EN où 7 1, 4 étant une constante quelconque. On a Yu, =rÿ|sinnal=#, tandis que le rapport

na u sin( 7 +—1)x uUy, Sin 72%

peut prendre en général une infinité de valeurs supérieures à un, lorsque ñ augmente indéfiniment.

Il y a cependant avantage à conserver la règle de d’Alembèrt, qui est souvent d’une application plus facile. Ainsi, dans la série

z 1+ — + — +. — I 19 1195 LOS TE

le rapport d’un terme au précédent Ar * Zéro pour limite lorsque n n

augmente indéfiniment, tandis qu'on ne voit pas immédiatement ce que . LU QTER T à :

devient Yuy = = pour des valeurs très grandes de ».