I. — RÈGLES DE CONVERGENCE

convergente si l’on a x < —, et divergente si æ > Fe De même, en dési-

’ . . JU 21e . Ji ——— . . gnant par /' la limite de Vu, , l'expression Vunt' a ji limite l'x, de

sorte que la série (4) doit être convergente si l'on a x < +, et divergente

SP æ > 7 Pour que ces des caractères de convergence ne soient pas en contradiction, il faut évidemment que de l'; si l’on avait, par exemple, > l’, tout nombre + compris entre : et — r rendrait la série convergente d’après la règle de Cauchy, tandis que le même nombre rendrait la série divergente d’après la règle de d’Alembert.

Un+1

EXT | . , AA IV. Plus généralement, lorsque tend vers une limite /, Yu, tend

n vers la même limite. Supposons, en effet, qu'à partir d’un certain rang tous les rapports : Un+1 Un +2 Un+p

3 , . +. , Un Un+1 Un+p—1

soient compris entre /—e et {+e,: désignant un nombre positif qu’on peut supposer aussi petit qu'on veut, pourvu que 7 soit assez grand. On aura aussi

(ae . c(l+e),

ou encore CRE DS P mie P op ANNE net P(l Le) +P;

lorsque, » restant fixe, le nombre p augmente indéfiniment, les deux termes extrêmes de cette double inégalité tendent respectivement vers / —: et Z+e. On aura donc, pour toute valeur de 77 supérieure à une limite convenable,

FE T PRES D'Un L'H2E,