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ét, comme € est arbitraire, on en conclut que Yu» a pour limite le nombre /.
Il est à remarquer que la réciproque n’est pas vraie. Prenons, par exemple, la série
D 0, 02 Red anbit Lan br;, is,
où a et b sont deux nombres différents. Le rapport d’un terme au précédent est alternativement & ou b, tandis que l’expression Vun a pour limite Vab lorsque n augmente indéfiniment.
La proposition précédente peut servir à trouver la limite de certaines expressions qui se présentent sous forme indéterminée. Elle nous montre,
a ARS par exemple, que Ÿ1.2...n augmente indéfiniment avec 7, car le rap-
OL
RO . « . A . A port TAPER augmente lui-même indéfiniment. On verra de même 1.2...(R —1 ;
nr imite RS ie log x que Vn a pour limite l'unité, ainsi que log ».
160. Application de la plus grande des limites. — Cauchy a présenté la règle précédente sous une forme plus générale. Soit a, le terme général d’une série à termes positifs. Considérons la suite
S (Sa)
si les termes de cette suite n’ont pas de borne supérieure, le terme général a, ne tend pas vers zéro, et la série est divergente. Si tous les termes de la suite (5) sont moindres qu’un nombre fixe, soit w la plus grande des limites des termes de cette suite.
La série Sa, est convergente si w est inférieur à un, et divergente St & est supérieur à un.
Pour démontrer la première partie, soit 1 — 4 un nombre compris entre w et 1. D’après la définition de la plus grande des limites (n° 4), 1l n’y a qu’un nombre fini de termes de la suite (5) supérieurs à 1—@&; on peut donc trouver un nombre entier p tel que, pour toute valeur de r supérieure à p,
on ait Wa, <1—«. La série 2an est donc convergente. Au contraire, si l'on a w >1, soit 1 + à un nombre compris entre 1 et w; il y a une infinité de termes de la suite (5) supérieurs à 1 + a, et par suite une infinité de valeurs de 7 pour lesquelles a, est plus grand que un. La série ZE a, est donc divergente. Il n’y a doute que dans le cas où w — 1.
