Théorème de Cauchy. — Lorsque {#1 ou ! Un tend vers y q
nm unité, sans être constamment supérieur à un, les règles de
d’Alembert et de Cauchy ne permettent pas d’affirmer la convergence ou la divergence d’une série. Il faut dans ce cas prendre pour termes de comparaison d’autres séries jouissant de la même propriété, et de caractère connu. La p'oposilion suivante, que Cauchy a déduite de l'étude des intégrales définies, permet souvent de décider de la convergence ou de la divergence d’une série, lorsque les règles précédentes sont en défaut :
Soit o(æ) une fonction positive à partir d’une certaine valeur a de æ, allant constamment en décroissant et tendant vers zéro
quand x augmente indéfiniment. La courbe y=œ(x) estasympiote
à l’axe des +, et l'intégrale définie jp v(x) dx peut tendre vers As À
ï RÈGLES DE CONVERGENCE. {ot
une limite finie ou non, lorsque / croît indéfiniment. Cela posé, la série
est convergente si l’intégralé précédente tend vers une limite, et divergente dans le cas contrarre.
Supposons, en effet, x compris entre 4 p—1 et a+p, P étant un nombre entier positif. De la double inégalité
on tre, en intégrant entre les limites a +p—1,a+p,
a+ p p(a+p—1)> o(æ)dx > e(a+p).
RD 1 e Faisons successivement p —1,2,...,n et ajoutons les inéga-
lités obtenues ; il vient
a+n P(a)+ ga +++ eat > f o(x) dx,
An P(aH 1) +e(a+?)+..+q(a+n)< f v(æx) dx.
Î Cela posé, si l'intégrale / v(x)dx tend vers une limite L
«a lorsque l'augmente indéfiniment, la somme g(a)+...+o(a+n), restant constamment moindre que w(a) + L, tend vers une limite; la série (6) est donc convergente. Au contraire, si l’inté-
a+n grale f v(x) dx croît au delà de toute limite, il en est de a
même, d’après la première inégalité, de la somme Ÿ o(a+i); 2—0
la série (6) est donc divergente. | ll | HS us
Prenons, par exemple, o(x) — Zu Où m'est posilif, et a —1.
Cette fonction w(x) satisfait bien à toutes les conditions de
l'énoncé, et l'intégrale [ — tend vers une limite lorsque / croît /1
‘indéfiniment, pourvu que a soit supérieur à l'unité, et dans ce cas seulement. Il en résulte que la série dont le terme général est n-v 1 j ‘ : . € C | L1 L] < est convergente si 1 est plus grand que un, et divergente si p£r. GE 26
re 9 GE z(logæ)t” et logx désignant le logarithme népérien. On a, en supposant ZI,
Supposons encore o(x) — — 2, y élant positif
dx A | ,
f ——— = [(ogn)t-u— (loga)t-k]; NAME AC CEE PANUUEST Croire
le second membre a une limite finie si H = 1 et augmente indéfi-
niment si a <1. Dans le cas particulier où x — 1, on voit de la
même façon que l'intégrale croît au delà de toute limite. La série
I I 1 SRE ÆARRCE RATER SRE +, CEE] FMC: f HS Du |; 2(10g 2) ai 3(log3 )l on n(logn)l ne
est donc convergente si 4 > 1, et divergente si p£t. Plus généralement, la série dont le terme général est
nlognlog?2nlog3n...log?” 1n(logPln ) le) o le) o le]
est convergente, si l'on a u > 1 et divergente si m£1. On a écrit, pour abréger, log?n à la place de loglogn, et d’une façon générale log? n à la place de p signes log superposés. Bien entendu on ne donne à l’entier » que les valeurs assez grandes pour que logn, log?n, log*n, ..., log? x soient positifs, et l'on suppose les termes manquants remplacés par des zéros. On le démontre comme pour les séries précédentes; si, par exemple, on a 41, la fonction
æ logxrlog?æx...(logræ)t
ee, # L ee CN .
est la dérivée de : (logræ)'-4, et cette dernière fonction ne b-
I ee tend vers une limite finie lorsque x augmente indéfiniment que si Ponant.
La proposition de Cauchy est susceptible d'applications d'un autre genre. La fonction ÿ(æ) satisfaisant toujours aux conditions énoncées plus haut, considérons la somme
(7) Dr) #7 ET) AE (nr Ip)
où n et p sont deux nombres entiers qu'on fait croître indéfiniment. St la série, dont le terme général est o(n), est convergente, la somme précé= dente a zéro pour limite, car elle est la différence des deux sommes S,+p
