I. — RÈGLES DE CONVERGENCE
et Sy 1 qui tendent l’une et l’autre vers la somme de la série. Mais si cette série est divergente, on ne peut plus rien affirmer. En reprenant le raisonnement de tout à l’heure, on parvient à la double inégalité
nr 3/7
n+p fe (œ) de <o(n) + gr) ++ eu+ p) < fn) + [| o(x) dx;
comme œ(z) tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment, on voit que la limite de la somme considérée est la même que celle de l'inté-
n+p ; grale di ®(x) dx, et elle dépend de la façon dont les nombres n et p ñ
croissent au delà de toute limite.
Par exemple, pour avoir la limite de la somme > (n + 1)"t, il suffit de
. FTPdæ P chercher la limite de l'intégrale définie f. me. log (+2). Il est (4
(2 clair que cette intégrale n’a une limite que si le rapport Pa une limite ; n
si æ est la limite de ce rapport,la somme précédente a pour limite log(1+ a), comme on l’a déjà démontré (n° 49). P ne Pour avoir la limite de la somme > (n+i)?,il faut de même chercher
; i=0 la limite de l'intégrale .
RÉPC de 0 FEV
pour que cette expression ait une limite, il faut que le quotient <= ait n
lui-même une limite «. L'expression précédente a aussi pour limite «.
162. Critères logarithmiques. — En prenant comme terme de comparaison la série DO Cauchy a été conduit à une nouvelle
règle de convergence, tout à fait analogue à celle qui est relative AE Vu, :
log —
AR . : (72 r St, à partir d’un certain rang, Tree est constamment supé-
og Ar rieur à un nombre fixe plus grand que l'unité, la série est
log —
(42 . AN \ A, Te est constamment inférieur à l'unité, la A
série est divergente.
convergente. St
404 CHAPITRE VIII. — SÉRIES ET PRODUITS INFINIS. Lorsque =" iend vers une limite L quand n augmente logn 9
indéfiniment, la série est convergente st l=>1, et divergente St l<1. Il y a doute si l—1.
Pour démontrer la première partie, remarquons que de l’inégalité
log — > Klogn
on déduit que w, estinférieur à n-#; la série est donc convergente, ST Are
De même, si l’on a
log — < log n, Le
, À I ra k on en déduit w, > ne la série est donc divergente.
Cette règle permet de reconnaître la convergence d’une série toutes les fois qu’à partir d’un certain rang les termes de cette
série sont respectivement moindres que ceux de la série ù Ant.
où À est un facteur constant, et nm > 1. Si l’on a, en effet, A Un < sr'T4
on en déduit logu,+ plogn <logA,
ou
et le second membre à pour limite u lorsque 7 augmente indéfiniment. À partir d’un certain rang on aura donc, en désignant par Æ un nombre compris entre un el b, |
log le)
log n pe
En prenant de même comme termes de comparaison les séries
DD dm n (108 nr )4” n log a(log? nu? e
