I. — RÈGLES DE CONVERGENCE
on obtient une infinité de règles de convergence, qui se déduiront
LA L4 LA # u , de la précédente (!) en remplaçant dans l’énoncé = par = : log x PR
A nu\logn : à é i (es règles s'appliquent à des cas de
PUS par, plus en plus étendus; il est facile de s’assurer, en effet, que si l’une d’elles permet de reconnaître la convergence ou la divergence d’une série, 1l en sera de même de toutes les suivantes. Mais, aussi loin que l’on aille dans la série des essais, il peut se faire que l'application de ces règles ne permette jamais de reconnaître le caractère d’une série. MM. du Bois-Reymond (?) et Pringsheim (3) ont, en effet, formé des séries, tant convergentes que divergentes, pour lesquelles les critères logarithmiques ne donnent aucune indication. Ge résultat est d’un grand'intérêt théorique, mais les séries convergentes de cette espèce sont évidemment très lentement convergentes et ne paraissent pas susceptibles d'applications au calcul numérique (‘).
163. Règle de Raabe et Duhamel. — En conservant les mêmes séries comme termes de comparaison, mais en comparant les rapports de deux termes conséculifs au lieu de comparer les termes eux-mêmes, on est conduit à de nouvelles règles, moins générales, 1l est vrai, que les précédentes, mais qui sont souvent d’une application plus commode dans la pratique. Ainsi, soit (U).
Un+1
une série à termes positifs dans laquelle le rapport tend vers
l’unité, en étant constamment inférieur à un. On peut représenter
ce rapport par tes
ZÉTO lorsque n augmente indéfiniment. La comparaison de ce rap-
» 4n étant un nombre positif qui tend vers
(:} Voir BERTRAND, Traité de Calcul différentiel et intégral, 1. 1, p. 238; Journal de Liouville, 1° série, t. VII, p. 35.
(2?) Ueber Convergenz von Reihen (Journal de Crelle, t. 66, 1873, p. 85).
(°) Allgemeine Theorie der Divergenz... (Mathematische Annalen, t. XXV, 1390 ).
(“) Dans un exemple de série convergente, dù à M. du Bois-Reymond, il faudrait, d’après l’auteur, calculer la somme d’un nombre de termes égal au volume de la Terre exprimé en millimètres cubes pour avoir seulement la moitié de la somme de cette série,
-)F conduit à la règle suivante, obtenue d’abord
n port avec (par Raabe (*), puis par Duhamel (2) :
Si, à partir d’un certain rang, le produit na, est constamment supérieur à un nombre fire, plus grand que un, la série est Convergente. Si, à partir d’un certain rang, ce produit est constamment plus petit que un, la série est divergente.
La seconde partie de la proposition est immédiate. Si, à partir
d’un certain rang, on a na, <1, on en déduit
I n EVENT ET 5] 1+ dy n +I
AA n ?
et le rapport .. est supérieur au rapport de deux termes consé-
cutifs de la série harmonique : la série est done divergente.
Pour démontrer la première partie, supposons qu'à parür d’un certain rang on ait constamment non > #1. Soit u un nombre compris entre 1 et k,1<u<K%k; la convergence de la série sera
2 4 a r , 6 G Un+1 .
assurée Si, à partir d'un certain rang, le rapport —,— est moindre d [LA e 7 , “ FRET que le rapport (=) de deux termes consécutifs de la série ES ot | dont le terme général est nt. Il faut, pour cela, que l’on ait
I L I SUR ROSE en I+ a» 1 \t
, a , I J, ce qu'on peut écrire, en développant (: —- 2) par la formule de
/ AM tE I Taylor limitée au terme en —; ni -
Anrestant toujours moindre qu'un nombre fixe lorsque n augmente indéfiniment. Cette condition devien t'en simplifiant,
EN
An ñ ea —- Wii TT TAn ;
RER ER OR EE EU (7) Zeitschrift für Mathematik und Physik, t.X, 1832. (*) Journal de Liouville, t. IV, 1838.
