I. — RÈGLES DE CONVERGENCE

or le premier membre a pour limite lorsque n croit indéfiniment. À partir d’une valeur de n assez grande, ce premier membre sera donc moindre que #2 4,, ce qui suffit pour démontrer l’inégalité (8) et par suite la convergence de la série.

Lorsque le produit n4, tend vers une limite / pour # infini, on peut appliquer la règle précédente. La série est convergente

si {> 1, et divergente si {1.11 y a doute pour {= 1, sauf dans a cas où no, tend vers un en lui restant constamment inférieur; la série est alors divergente.

| he SRE u Lorsque le produit na; a pour limite l'unité, on compare —— au rap- Un port de deux termes consécutifs de la série 1 I © + ————— © + 2 (log 2) n(logn)t

qui est convergente si pm >1, et divergente si u£1. Écrivons le rapport de deux termes consécutifs

3, tendant vers zéro lorsque x augmente indéfiniment. St, à partir d’un certain rang, le produit B,logn est constamment supérieur à un nombre fixe plus grand que l'unité, la série est convergente. St ce produit est constamment inférieur à l'unité, la série est divergente.

Pour démontrer la première partie, supposons que, pour toutes les valeurs de n supérieures à un nombre p, on ait B,logn >k=1. Soit pun nombre tel que 1< a <Æ. La convergence de la série sera établie si, à partir d’un certain rang, on à

D) Un+1 n log n b (9) Un R+I Pre) :

ce qui peut s’écrire

\ Tu log (i1+ — I B,, 1 AIS n ! î Û D ! | vo + — + D (1+ — a ——"—

log n ou, en appliquant la formule de Taylor au second membre, I / Ï 2 1 log { 1 + — log (1+ Gn i n À n | Fes (++) D ——° + — — n logn

Àn restant inférieur en valeur absolue à un nombre fixe lorsque n croît

indéfiniment. Cette inégalité devient, en simplifiant,

1 \12 f Àn(n +nflog(i =)|

[ Brlogn > p(n+i1)log(1+ - )- n logn

I «LE de or le produit (nr +1)log (: + =) a pour limite l’unité lorsque n augmente n

indéfiniment, car on peut l'écrire, d’après la formule de Taylor,

Ve D QU I 4 (10) A+ log(r+r)=i+ Etes)

£ tendant vers zéro. Le second membre de l'inégalité précédente a donc D

pour limite p, et l'inégalité est assurée à partir d'un certain rang, puisque le premier membre est supérieur à un nombre # > qe - a . Un+1 On démontre de même la seconde partie en comparant le rapport == Un au rapport de deux termes consécutifs de la série dont le terme général

I ALPINE est —— . [L'inégalité

nlogn HE n log ue n +1 log(rn +1) peut s’écrire Ï ( " & 09 [ — — [l D» il = | n LE EN ro CNE n n \ n log n

1 /à Ba logn < (n +1) log (1 ne

or le second membre tend vers l'unité par valeurs supérieures à l'unité, comme le montre la formule (10). L'inégalité est donc assurée, à partir d’un certain rang, puisque le premier membre ne dépasse pas l'unité.

De la proposition précédente on déduit encore, comme corollaire, que, si le produit $,logn tend vers une limite Z, lorsque x croît indéfiniment, la série est convergente si {> 1, et divergente si { ZKx. II y a doute pour {= 1, sauf dans le cas où le produit B,logn reste toujours inférieur à un; la série est alors divergente.

Lorsque $,logn tend vers l’unité en lui restant supérieur, on écrira de même

Yh tendant vers zéro lorsque # augmente indéfiniment. On aura des énoncés tout pareils aux précédents en considérant le produit Ynlog?n, et ainsi de suite.