I. — DÉFINITIONS. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES

l'intervalle (a, b), de sorte qu'on ait, pour toute valeur de x comprise entre a et b,|f'(x)| <K, le nombre positif K étant indépendant de +. Il suit de là que, x, et #2 étant deux nombres quelconques de l'intervalle (a, b), on a toujours l'inégalité

(3) (te) — fai) <KI%2— vi].

Nous appellerons, pour abréger, condition de Lipschitz la condition exprimée par cette inégalité (3), où K désigne un nombre fixe, x, et æ, deux nombres quelconques appartenant à un certain intervalle.

La formule (1) est appelée quelquefois formule de la moyenne généralisée. Le théorème de l'Hospital sur les formes indéterminées s’en déduit aussitôt. Supposons en effet f(a)—=%(a)—o. En remplaçant b par +, la formule (1) devient

z, étant compris entre æebzx. Cette relation nous montre que, st

Tr PA le rapport Pres tend vers une limite lorsque x tend vers a, le x L RAM rapport Le tend vers la méme limite lorsqu'on a

18. Formule de Taylor. — Lorsque f(x) est un polynome entier de degré n, en développant ce polynome suivant les puissances de æ — a, on obtient la formule

LR Sale nr Le:

le développement s'arrête de lui-même, car toutes les dérivées sont nulles à partir de la (n +1). (

Considérons maintenant une fonction f(x) différente d’un polynome. La formule (4) ne peut être applicable à cette fonction, aussi grand que soit le nombre entier ». Nous nous proposons de trouver une expression de l'erreur commise quand on remplace cette fonction f(x) par le polynome

Pate) = fa) + fa) ++ fa)

4o CHAPITRE II. — DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES.

Nous ferons sur la fonction f(x) les hypothèses suivantes : cette fonclion est continue, ainsi que les dérivées f(x), f(x), …, f(x), dans un intervalle (a, b), et la dérivée d'ordre n, f'#(x), admet elle-même une dérivée f(*+1) (x) pour toute valeur de x comprise entre a et b. Le polynome P,(x) satisfait aux conditions

Pr(a)= f(a), Pe(a)= fa), 4, PRG

et par suite la différence f(x) —P,(x) est nulle, ainsi que ses dérivées successives jusqu’à la nième pour x — a. Ilen est de même de la fonction auxiliaire

quelle que soit la constante C. Or on peut choisir cette constante de façon que (x) soit nulle aussi pour æ = b; il suffit pour cela de poser

La constante C étant déterminée par cette relation, la fonction auxiliaire ©(x) est continue, ainsi que ses » premières dérivées, dans l'intervalle (a, b), et o(%)(x) admet elle-même une dérivée o(?tt){x) pour toute valeur de > comprise entre a et b. De plus, on a les »n relations

p(a)=0o; vw(a)=0, CR (a) = 0, g(b)= 0.

Appliquons le théorème de Rolle à la fonction v(æx) et à ses dérivées successivement. La fonction o(x) s’annulant pour + — a et pour x — b, l'équation (x) — 0 a uneracine c, comprise entre & et b. Cette fonction &/(x) étant nulle pour x — a et pour x =c,, l'équation #"(æ) — o a elle-même une racine e, comprise entre @ el C,, et par suite comprise entre a et b. En continuant ainsi jusqu’à la dérivée nie, 6n voit que l'équation o(%)(%) = 0 admet la racine a et une autre racine Cy comprise entre «& et b. Par suite, la dérivée o(2+1)(x) s’annule aussi pour une valeur c comprise entre «a et b. Or cette dérivée a pour expression, puisque le polynome P,(x) est de degré » au plus,

pH (D) = fit (x) A2, 2 on ME