I. — RÈGLES DE CONVERGENCE
Corollaire. — Lorsque, dans une série à termes positifs, le rapport d'un terme au précédent est de la forme Un+1 7 H,
= — + Uÿ n nitt
y étant un nombre positif, 7 étant constant, et la valeur absolue de H, - restant inférieure à un nombre fixe lorsque x croît indéfiniment, /a série est convergente si r est plus grand que un, et divergente dans tous les | autres cas.
. Si l'on représente toujours par aan le rapport de deux termes consé-
4 a . cutifs, on a, en effet,
ru TT — — nu FD) ni+ty
et par suite limna,=r. La série est donc convergente si 7 1 et diver- | gente sir “1. Le seul cas douteux est celui où r —1. Pour lever l’ambi- | guité, posons 5 ,
Uni £ j RL ITS , Un re D Br ñn n l vient — logr n+iy log n nm 6 PA n n OP + 12 og an Lt L H, 5)
L— — + n nt
etit que soit le nombre un uw. La série est donc divergente.
T5 u - … Supposons, par exemple, que 7% soit une fonction rationnelle de n
re 2 tendant vers l'unité lorsque n croît indéfiniment,
Uns1 NP+ nl 1+ @ PERL Ta RÉ nb ULB, RP NT
on peut aussi l'écrire, en effectuant la division et s'arrêtant au terme
ne
en DEL :
Le Là 4 a Et — bi or) Un n n°
©(n) étant une fonction rationnelle de 7 qui tend vers une limite finie Déstue n croît indéfiniment. D’après le résultat qui précède, pour que la série soit convergente, il faut et il suffit qu'on ait
L dc" he: AN CA ps M LE" FANS MAL 4 « "0e" ne x béus sh LS LR LA
Ge théorème est dû à Gauss, qui l’a démontré directement; c’est une des premières règles générales de convergence (1).
164. Séries absolument convergentes. — Occupons-nous maintenant des séries dont les termes peuvent avoir des signes quelconques. Lorsque, à partir d’un rang assez élevé, tous les termes ont le même signe, ce cas se ramène immédiatement au précédent. I suffit donc d’étudier le cas où il y a dans la série une infinité de termes positifs et une infinité de termes négatifs. Nous allons d’abord démontrer la proposition suivante, qui est fondamentale :
Une série à termes quelconques est conver gente lorsque la série formée par les valeurs absolues de ses termes est elleméme convergente.
Soient (11) Up UE EU, PE. DM
une série dont les termes peuvent avoir un signe quelconque et è
: : « (12) Ü, + Us Va AA, la série formée par les valeurs absolues des termes de la première, où l’on a posé U,— ||. Si la série (12) est convergente, il en est de même de la série (11); c’est une conséquence du théorème général de convergence, puisqu'on a
[Un + Uni... + Un+p| Un + Uni +... + U»+p, et que la seconde somme peut être rendue moindre que tout nombre donné, pourvu que l’on prenne le nombre n assez grand,
le nombre p restant arbitraire.
On peut encore s’en rendre compte autrement, Ecrivons
Un = (un + Un) — Un, et considérons la série auxiliaire dont le terme général est vu, U,.
(13) (uo+ Uo) + (ui+ Ui) +... + (un + Un) +. S
(') Disquisitiones generales circa seriem infinilam 1+ 2 x +...(Œuvres ne LJ ‘ !
complètes, t. III, p. 138).
