I. — RÈGLES DE CONVERGENCE

S,, S,, S” désignant respectivement les sommes des n premiers termes des séries (11), (12) et (13), on a évidemment

PE Sn — Sn:

Or la série (12) est convergente par hypothèse; il en est de même de la série (13) qui n’a aucun terme négatif et dont le terme général est au plus égal à 2 U,. Les sonimes S', S’,et par suile 5x tendent donc vers des limites lorsque #7 augmente indéfiniment, @est-à-dire que la série proposée (11) est convergente. On voit de plus que cette série peut être considérée comme provenant de la soustraction terme à terme de deux séries convergentes à termes positifs.

Toute série, telle que les valeurs absolues de ses termes forment une série convergente, est dite absolument convergente.On peut, dans une pareille série, modifier l’ordre des termes d’une façon arbitraire sans changer la somme de cette série. Considérons d'abord une série convergente (U) à termes positifs, de somme », et soit (V) une autre série ayant les mêmes termes que la première, rangés dans un ordre différent, de telle facon que chaque terme de la série (U) se retrouve dans la série (V) à une place quelconque, et qu'inversement chaque terme de la série (V) se retrouve aussi dans la série (U), mais à un rang qui peut être différent.

Soit S', la somme des m premiers termes de la série (V): puisque tous ces termes se retrouvent dans la série (U), il est clair que l’on peut prendre un nombre n assez srand pour que les m premiers termes de la série (V) fassent partie des n premiers termes de la série (U). On a donc

D se Sn ie S;

ce qui prouve que la série (V}) est convergente et a une somme SI£S. Tout pareillement, on doit avoir STS, et par SHILE 0e Le même raisonnement prouve que, si l’une des séries (U) et (V) est divergente, il en est de même de la seconde.

On peut aussi, dans une série convergente à termes positifs,

wrouper les termes ensemble d’une façon arbitraire, c'est-à-dire

former une nouvelle série dont chaque terme soit égal à la somme d’un certain nombre de termes de la première, pris d’une façon

quelconque, sans changer la somme de la série. Supposons d’abord

que l’on groupe ensemble un certain nombre de termes consécu Uifs, et soit

(14) Ag+ Aj+ As... + Apt.

la nouvelle série ainsi obtenue, où l’on a, par exemple,

À6 = do+ d+...+ 4p, À1= Gp +... + Gg

A — dg+1 +. Ca 6e y,

La somme S;, des rm» premiers termes de la série (14) est égale la somme Sy des N premiers termes de la série proposée (N> m) Lorsque m augmente indéfiniment, il en est de même de N et, pa suite, S,, a aussi pour limite S.

En combinant les deux opérations précédentes, on voit que étant donnée une série convergente à termes positifs, on peut, san changer la somme, la remplacer par une autre série dont chaque terme est formé par la somme d’un certain nombre de térmes di la première pris dans un ordre quelconque. {l suffit que chaque terme de la première série entre dans un des groupes qui formen les termes de la seconde série et dans un seul.

Toute série absolument convergente pouvant être regardée comme la différence de deux séries convergentes à termes posilifs. les opérations précédentes sont encore légitimes pour une pareille série. On voit donc qu’une série absolument convergente peut être, au point de vue du calcul numérique, traitée comme une somme d'un nombre fini de termes.

165. Séries semi-convergentes. — Une série à termes quelconques peut être convergente, sans que la série formée par les valeurs absolues. de ses termes soit convergente. C'est ce que prouve très clairement le théorème sur les séries alternées dont Je me borne à rappeler l'énoncé :

Une série à termes alternativement positifs et négatifs est convergente si la valeur absolue de chaque terme est plus petite que la valeur absolue du terme précédent, et si, en outre, les termes décroissent indéfiniment en valeur absolue quand leur rang augmente indéfiniment.