I. — RÈGLES DE CONVERGENCE

ES ni

Par exemple la série

æ \ ù l (15) A a on CPLM Pme

est convergente, tandis que la série formée par les valeurs absolues des termes, qui est la série harmonique, est divergente. Les séries “Convergentes, qui ne sont pas absolument convergentes, sont dites Semi-convergentes. Les travaux de Cauchy, de Lejeune-Dirichlet et de Riemann ont bien montré la nécessité de distinguer entre les Séries absolument convergentes el les séries semi-convergentes. Ainsi, dans une pareille série, on n’a pas le droit de changer l’ordre dlans lequel les termes se succèdent ou de grouper ces termes d’une ficon arbitraire; ces opérations peuvent avoir pour résultat de modifier la somme de la série, ou même de changer une série convergente en une série divergente, et inversement. Reprenons, par exemple, la série convergente (15) dont la somme est évidemment la limite de l’expression | | I—=171

Y I I \ DT € vod À DIE,

lorsque »# augmente indéfiniment. Ecrivons les termes de cette Série dans un autre ordre, en faisant suivre chaque terme positif de deux termes négalifs,

on démontre aisément, en considérant les sommes S3r, Sang S5y42, que cette nouvelle série est convergente. Elle a pour somme la limite de l'expression

lorsque m augmente indéfiniment. Mais on a

I I I je I I —————— — ———— — =— 7 — — ———— — — , QN.+ I An + 2 An +4 UN 0 TEE 2 +2

ét, par conséquent, la somme de la seconde série est égale à la moitié de la somme de la première.

D'une façon générale, étant donnée une série qui est convergente sans l'être absolument, on peut ranger les termes de cette série dans un ordre tel que la nouvelle série soit convergente et ait pour somme un nombre quelconque À donné à l'avance. Désignons par S, la somme des p premiers termes positifs de cette série, par S, la somme des valeurs absolues des q premiers termes négatifs; la somme des p+ g premiers termes est évidemment S,— S,. Lorsque les deux nombres p et g augmentent indéfiniment, il doit en être de même des deux sommes S, et S},, sans quoi la série serait divergente ou absolument convergente. D'autre part, la série étant conver-* sente, le terme général doit tendre vers zéro.

Cela posé, nous formerons une nouvelle série ayant pour somme A de la manière suivante : Prenons les termes positifs de la série proposée dans” l'ordre où ils se présentent jusqu'à ce que leur somme soit supérieure à A:° écrivons à leur suite les premiers termes négatifs ‘dans l'ordre où ils se présentent, et arrêtons-nous dès que la somme des termes écrits est inférieure à À; écrivons ensuite les termes positifs en commençant par le premier des termes négligés, et arrêtons-nous dès que la somme des termes écrits est supérieure à À, puis reprenons les termes négatifs, et ainsi de suite. H est visible que les sommes des termes de cette nouvelle série sont tantôt plus grandes et tantôt plus petites que À, mais qu'elles diffèrent de À d'une quantité qui décroît indéfiniment et tend vers zéro. ;

166. Règle d'Abel.— On doit à Abel un théorème permettant de reconnaître la convergence de certaines séries, qui échappent aux règles précédentes. La démonstration repose sur un lemme dont on s'est déjà servi (n°77).

. AY . . - » . . x .

Soit YN u; une sèrie convergente ou éndéterminée (c'est-à-dire telle que mes 1

la somme des x» premiers termes soit toujours moindre en valeur absolue qu'un nombre fixe A); considérons d'autre part une suite de nombres positifs &;, dont chacun est plus petit que le précédent et tels que lime, =0. pour x =. Cela posé, la série

(17) So do + Qu... + Enün te...

est convergente, sous les conditions énoncées. Il résulte en effet des hypothèses que l’on a, quels que soient les nombres n et p, | Unit +- CR + Un+p | <a 2AÀ, et, par suite, d'après le lemme rappelé tout à l'heure,

lun+i1Enti +. + Un+p°n+p | <'2ÂA Ent;

puisque sy+1 tend vers zéro lorsque x augmente indéfiniment, on peut prendre x assez grand pour que la valeur absolue de la somme

Ent Un-+1 —— ….. + Sn+p Un+p

PV OR US