I. — RÈGLES DE CONVERGENCE
soit moindre que tout nombre donné à lavance, quel que soit p. La série (17) est donc convergente, en vertu du théorème général (n° 5). Lorsque la série uo+ u+...+un+... se réduit à la série
dont les termes sont alternativement + 1 et — 1, la proposition précédente se réduit au théorème rappelé plus haut, concernant les séries alternées. Voici un autre exemple. La série
SID0 Esin20 Lsin30 +... Esinn0 +...
est convergente ou indéterminée. Lorsque sin0 — 0 la série a tous ses termes nuls; lorsque sin0 £o, la somme des n premiers termes est égale,
d’après une formule de Trigonométrie, à le] 9
Sin —
: : 1 et par conséquent est moindre en valeur absolue que TE à On en conclut
sin —
que la série :
e, sin0 +e, sin28 +...+e,sinn0 +...
est convergente, pour toute valeur de 6, et l’on démontre de la même façon que la série E1 COSÔ + Es CO520 +...+e, cosn0 +...
est convergente, sauf peut-être pour 0 = 2Â7.
Corollaire. — On peut énoncer une propriété plus générale, en se bornant aux séries convergentes. Soient
Uo+ ui... + Unte..
une série convergente, et Los Xi: ste Un …
une suite de nombres positifs, allant toujours en croissant ou en décrois-
sant, et tendant vers une limite k, différente de zéro, lorsque n augmente indéfiniment; la série
(18) Lo Uo + uk. +AnUn+H...
est aussi convergente.
Supposons, pour fixer les idées, que les nombres a; aillent en croissant ; nous pouvons écrire
Xp = À — €, di = À — E1, Age an = K — En,
et les nombres &ç, £1, ..., €e,, ... forment une suite de nombres positifs décroissants, :, tendant vers zéro lorsque » croît indéfiniment. Les deux
séries Kkuo+ Kui +...+ Kkun +..., EoUo—+ EU +... +EnüUnt+...
sont l’une et l’autre convergentes et, par suite, il en est de même de la série (18).
II. — SÉRIES A TERMES IMAGINAIRES. — SÉRIES MULTIPLES. 167. Définitions. — Nous indiquerons dans les paragraphes SUIvants quelques généralisations de la notion de série. Soit \ (19) Uo+ Ua +... + Un +...
une série dont les termes sont des quantités imaginaires
Uo = do + Dot, U = di + bi, des Un = An + Ont,
cette série est dite convergente, si les deux séries formées par les parties réelles et les coefficients de £ sont séparément conver-
gentes, (20) A A FAR OA FF Le (21) Bo+ bi+bea+...+ bre...
Soient Set S’ les sommes des deux séries (20) et (21); la somme de la série (19) est S = S'+5S"; il est évident que cette somme est encore la limite de la somme S, des n premiers termes de la série (19) lorsque le nombre n augmente indéfiniment. On voit qu'une série à termes imaginaires n’est au fond que l’ensemble de deux séries à termes réels.
Lorsque la série formée par les modules des différents termes de la série (19) (22) Vai+b3+vai+bi+...+yairait.
est convergente, il est clair que chacune des séries (20) et (21) est absolument convergente, car les valeurs absolues de a, et de bn sont au plus égales au terme général de la série (22); la série (19) est dite elle-même absolument convergente. On peut modifier l’ordre des termes d'une pareille série, ou grouper ces termes d’une façon arbitraire, sans changer la somme.
Il. — SÉRIES À TERMES IMAGINAIRES. — SÉRIES MULTIPLES. 417
À toute règle permettant d'affirmer qu'une série à termes positifs est convergente correspond une règle permettant d'affirmer qu'une série à termes quelconques, réels ou imaginaires, est absolument convergente. Ainsi, lorsque dans une série le module du rapport Ed et à partir d’un certain rang, plus petit qu’un
Un
nombre fixe inférieur à l’unité, la série est absolument convergente. Soit en effet U;—}u;|; si, à partir d’un certain rang, On à Un+1 Ly
cuufs de la série
constamment
Uk = Rule rapport de deux termes consé-
Ur = U 1 on ….. U, '
étant inférieur à Æ, à partir d'un certain rang, cette série est con-
an U %) e À vergente. Si le rapport Fe tend vers une limite / lorsque À» croît 4è
indéfiniment, la série est convergente lorsque
[| <1,et divergente lorsque | /| => 1; dans ce dernier cas, en effet, le module du terme général w, ne tend pas vers zéro, les deux séries (20)el(21) ne peuvent être à la fois convergentes. Il y a doute si [{| 1.
D'une façon générale, soit w la plus grande des limites de WU, lorsque ñ augmente indéfiniment. La série (19) est absolument convergente si w 1, et divergente si w > 1, car dans ce cas le module du terme général ne tend pas vers zéro (n° 160). Il y a doute si w — 1; la série peut être absolument convergente, simplement convergente, ou divergente.
168. Multiplication des séries. — Soient (23) Ugo Ui+ Uo+...+Unte.., (24) PQ + Pi + Pa +. + Py +
deux séries à termes quelconques. Multiplions, de toutes les mamères possibles, un terme de la première série par un terme de la seconde, et groupons ensemble tous les produits w;v; pour lesquels la somme : + j des indices est la même : nous obtenons ainsi une nouvelle série |
(25) Uo Po + (Uo Pi + UV) + (Uo Pa + WU Pi + Ua V0) +...
H(Uo0n + UiPn ni + + Un Po) +...
Lorsque les deux séries (23) et (24) sont absolument conver- 5 RER À 27
entes. la série (25) est aussi convergente et a pour somme le 5 Bt P produit des sommes des deux premières. Ce théoreme, dû à Cauchv. a été généralisé par M. Mertens (!}), qui a montré quäl Je 5 Î AN étaitencore vrai, pourvu qu'une seule des deux série (23) et (24 101 1
fût absolument convergente, la seconde pouvant être simplement convergente.
Supposons, pour fixer les idées, que la série (23) soit absolument convergente, et soit w, le terme général de la série (25
Wn = UPr + UiPnni Fe. Uno.
Pour démontrer la proposition, il suffit de faire voir que les deux
différences Do Pi... Wan — (Up UE. En ) (Po PIERRE Do Pise. ons — (Uo + UF... Un) (Po VI PSS On+1)
tendent vers zéro, lorsque x» croît indéfiniment. La démonstration élant la même dans les deux cas, considérons la première différence, que nous pouvons écrire, en ordonnant par rapport aux 5,
Ni 0 Uo(Pn+1 +. . «+ Van ) + Ui(Pa41 +: . + Von—1) +, . + Un -1Vn+1
Unui(Po +... + Pn-1) + Una Pot... Pr 2) PS7
La série (23) étant absolument convergente, la somme
ÜUo+ Ui+...+ Ün
reste inférieure, quel que soit x, à un nombre positif fixe À; de même, la série (24) étant convergente, le module de la somme Po ei+...+e, reste inférieur, quel que soit n, à un nombre positif fixe B. Cela posé, e étant un nombre positif quelconque donné à l'avance, nous pouvons choisie un nombre positif » assez grand pour que lon ait
Ü,1 et Un+p < Na pd
[2 Has ? EE | rit + Patp| < DER
quel que soit le nombre p, pourvu que n=m. Le nombre n étant choisi de cette facon, on aura une limite supérieure du module
(!) Journal de Crelte, t. 79.
I. — SÉRIES A ÆERMES IMAGINAIRES. — SÉRIES MULTIPLES. 419 s D Ch rémplacant w, ui, ..., lon pars UD U PRE Pres
el enfin
peclivement, puis y, + Papa tes. Prip par . - 5 rs
nn 1 Pois 0, 2, ..., 00 par B. Il vient alors
£ (ss
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ou enfin || <<. La différence 3 a donc zéro pour limite.
169. Séries doubles. — Considérons un échiquier rectangulaire qui serait limité en haut et à gauche, mais qui se prolongerait indéfiniment en bas et à droite. Cette échiquier contient une infinité de colonnes verticales, qui seront numérotées de o à +, et une infinité de files horizontales qui seront numérotées également de o à + +. Concevons maintenant qu'à chaque case de cet échiquier on fasse correspondre un nombre qui sera inscrit dans la case correspondante; soit a; le nombre correspondant à la case qui est située dans la file de rang £ et dans la colonne de rang #.
Nous obtenons ainsi un tableau disposé comme le suivant :
Œno ni Ayo +. Ann
Nous suppaserons d’abord que tous les termes de ce tableau sont réels et positifs.
Imaginons maintenant une suite de courbes G,, G, .…., On, s'éloignant ridéfiniment dans toutes les directions et formant, avec les deux droites qui limitent le tableau, une suite de courbes fermées s’enveloppant mutuellement. Soient S,, S:,., HSE
les sommes des termes du tableau qui sont à l’intérieur de ces courbes fermées. Si la somme S, tend vers une limite S lorsque augmente indéfiniment, on dit que la série double
