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est convergente et à pour somme S. Pour jusüfier cette définition, il est indispensable de démontrer que la limite S est indépendante de la forme des courbes C. Imaginons, en effet, une autre suite de courbes s’éloignant indéfiniment dans tous les sens, C', G,, ..., CRT EL DID ET RON ETES DES

m° mn» +. les sommes correspon-

dantes. Le nombre m étant fixé, on peut toujours choisir le nombre » assez grand pour que la courbe C, soit tout entière à l'extérieur de C!,; on a donc $°,<S, et, par suite, 5, <S, quel que soit m. Or cette somme $, croît avec l'indice ; elle tend donc vers une limite S'£S. On démontrera de la même facon que lon a aussi S <S/; par suite S —S.

On pourra prendre, par exemple, pour former les courbes C, les deux côtés d’un carré dont le côté augmente indéfiniment, ou des droites également inclinées sur les deux côtés de l’échiquier; les sômmes correspondantes seront les suivantes

oo + (10 + can ze oi) re se Ti (A no + Anar. ie Ann + Annin te + on );

00 + (A0 + Go1) + (20 + Air + Qoo) +... + (Ano + An-11 +... + on);

si l’une de ces sommes tend vers une limite lorsque x croît indé= finiment, 1l en est de même de la seconde et ces limites sont égales. On peut aussi faire la somme du tableau par lignes ou par colonnes. Supposons en effet que la série double (23) soit convergente, et soit S la somme. Il est clair que la somme d'un nombre quelconque de termes du tableau est inférieure à S, etal en résulte que toutes les séries telles que

(28) io + Ai te. + dint... (te 6, F0

obtenues en prenant les termes d’une file horizontale, sont convergentes, “ar la somme

djo + A Fees + in

est toujours inférieure à S et va en croissant avec n.

dl

Il. — SÉRIES A TERMES IMAGINAIRES. — SÉRIES MULTIPLES. 42

Soient So, Si, ..., 0, ... Les sommes des diverses séries convergentes ainsi obtenues; la nouvelle série

(29) Co 1H... + +...

est également convergente. En effet, considérons la somme des termes du tableau Éa;z, tels que l’on ait ë<p, k£r. Cette somme est toujours moindre que S; si, laissant fixe le nombre p, on fait croître indéfiniment le nombre r, elle a pour limite

ere St ne Sp:

On a donc toujours 5,+5,+...+5,<S, et, comme celte somme va en croissant avec le nombre p, on en conclut que la série (29) est convergente et a pour somme un nombre X£S. Inversement, si toutes les séries (28) sont convergentes, et si la nouvelle série (29) formée par les sommes des premières est convergente et a pour somme Ë, 1l est évident que la somme d’un nombre quelconque de termes du tableau (26) est inférieure à X. On a donc aussi S£E, et par suite Ÿ —

Tout ce que nous venons de dire des séries obtenues en prenant des files horizontales s’applique évidemment aux séries obtenues en prenant des colonnes verticales. Pour avoir la somme d’une série double dont tous les éléments sont positifs, on peut l’évaluer soit par lignes, soit par colonnes, soit en prenant des courbes

limites de forme quelconque. En particulier, si la série est con-

vergente quand on fait la somme par lignes horizontales, il en sera de même quand on l’évaluera par colonnes, et la somme sera la même. On pourrait énoncer pour les séries doubles à termes positifs une suite de théorèmes analogues à ceux qui ont été établis pour les séries simples. Par exemple, si une série à double entrée, à Lermes positifs, a ses Lermes respecuvement moindres que ceux d’une autre série double convergente, la première série est également convergente, etc.

Une série double à termes positifs, qui n’est pas convergente, est appelée divergente. La somme des éléments du tableau correspondant, qui sont situés à l’intérieur d’une courbe fermée, croît au delà de toute limite lorsque la courbe s'éloigne indéfiniment dans tous les sens.

Considérons maintenant un tableau dont les éléments ne sont

pas tous positifs, Il est évident qu’il est inutile de considérer le cas où tous les éléments sont négatifs, et le cas où il y aurait seulement un nombre fini d'éléments positifs ou d'éléments négatifs, puisque chacun de ces cas se ramène immédiatement au précédent. Nous supposerons donc qu'il ÿ a une infinité d'éléments positifs et une infinité d'éléments négatifs dans le tableau. Soit a;; le terme général de ce tableau T. Sile tableau à termes positifs T,, dont le terme général est égal à la valeur absolue | a;x| du terme correspondant de T est convergent, le tableau T est dit absolument convergent. Un pareil tableau possède toutes les propriétés essen= uelles d’un tableau convergent à termes positifs.

Pour le prouver, considérons deux tableaux auxiliaires T! et Æ”, définis comme il suit. Le tableau T’ se déduit du tableau T en remplaçant chaque élément négatif par zéro, les éléments positils étant conservés. De même, le tableau T” s'obtient en remplaçant dans T chaque élément positif par zéro, et en changeant le signe de chaque élément négatif. Chacun de ces tableaux T! et T” est convergeni, si le tableau T, est convergent, car un élément de WP’ par exemple est au plus égal à l'élément correspondant de F,. La somme des éléments de la série T, qui sont à l’intérieur d’une courbe fermée, est égale à la différence entre les sommes des éléments des deux tableaux T’ et T” intérieurs à la même courbe. Puisque ces deux dernières sommes tendent vers une limite lorsque cette courbe fermée s'éloigne indéfiniment dans tous les sens, la première somme tend aussi vers une limite indépendante de la forme de la courbe fermée. Cest cette limite qu'on appelle la somme du tableau T. Les raisonnements employés tout à l’heure pour les tableaux à termes positifs montrent qu'on obtiendrait la même somme en évaluant le tableau T par lignes ou par colonnes. Il est clair d’après cela qu’un tableau, dont les éléments ont des signes quelconques, s'il est absolument convergent, peut être traité comme un tableau convergent à termes positifs. Mais il est indispensable de s'assurer que le tableau T, formé par les valeurs absolues des éléments de T est convergent.

Par exemple, une série double dont le terme général est de la forme UmVy, Um et Pr étant les termes généraux de deux séries ordinaires U et V, est absolument convergente si ces deux séries sont absolument convergentes et dans ce cas seulement, et la somme