II. — SÉRIES A TERMES IMAGINAIRES. — SÉRIES MULTIPLES

de cette série double est égale au produit des sommes des deux séries. En faisant la somme de cette série double par diagonales, on obtient le théorème de Cauchy sur le produit de deux séries absolument convergentes.

Si le tableau T; est divergent, l’un au moins des tableaux T', T” est divergent. Si un seul de ces tableaux, T' par exemple, est divergent, T° étant convergent, la somme des éléments du tableau T compris à lin térieur d’une courbe fermée C augmente au delà de toute limite, lorsque la courbe s'éloigne indéfiniment dans tous les sens, quelle que soit la forme de cette courbe.

S1 les deux tableaux T', T’sont divergents, le raisonnement qui précède prouve uniquement que la somme des éléments du tableau T situés à l’intérieur de la courbe fermée C est égale à la différence de deux sommes qui augmentent l’une et l’autre indéfiniment lorsque la courbe C s’éloigne indéfiniment dans tous les sens. [1 peut arriver que cette différence tende vers les limites différentes suivant la forme de la courbe GC, c’est-à-dire suivant la façon dont on fait croître indéfiniment le nombre des termes positifs et le nombre des termes négatifs. Cette somme peut d’ailleurs croître indéfiniment ou ne tendre vers aucune limite quand on ajoute les termes du tableau dans un certain ordre. En particulier, il peut se faire qu’en faisant la somme des éléments du tableau par lignes ou par colonnes on obtienne des résultats tout à fait différents.

L'exemple suivant est dû à Arndt (Grunert’s Archiv, vol. XF, p. 319). Considérons le tableau

qui contient une infinité d'éléments positifs et une infinité d'éléments négatifs. Les séries formées par les éléments d’une ligne ou d’une colonne sont toutes convergentes. La série formée par les éléments de la nie ligne

a évidemment pour somme » de sorte qu’en faisant la somme du

2/+1 tableau par lignes, ou trouve pour résultat 1 j