P PET PP ED DO

En évaluant le tableau par colonnes, on trouve donc pour somme

I I | I ll | I Si 5 sd be n CU ET de bi n 00

N É ji - ; : ?

c'est-à-dire — -. Cet exemple montre bien clairement qu’on ne doit

employer dans le calcul que des séries doubles absolument convergentes.

On peut avoir aussi des séries doubles dont les éléments sont des nombres complexes. Si les éléments du tableau (26) sont complexes, on peut former deux autres tableaux T', FT’ en pre-

nant d’une part la partie réelle, d’autre part le coefficient de —1 dans chaque élément du tableau T. |

Si le tableau T, à termes positifs, formé par les modules des éléments correspondants de T, est convergent, chacun des tableaux T', T” est absolument convergent, et le tableau est dit aussi absolument convergent. La somme des éléments de ce tableau qui sont situés à l’intérieur d’une courbe fermée variable tend vers une limite lorsque cette courbe s'éloigne indéfiniment dans tous les sens. Cette limite est indépendante de la forme de la courbe variable, et s'appelle la somme du tableau. La somme d'un tableau absolument convergent peut encore être évaluée par lignes ou par colonnes.

170. Une série double absolument convergente peut être remplacée par une série ordinaire formée des mêmes termes. Il suffit de montrer qu’on peut toujours numéroter les cases d’un échiquier indéfini tel que (26), de telle façon que chaque case ait un numéro déterminé, aucune d’elles n'étant oubliée. En d’autres termes, si l’on considère, d’une part, la suite naturelle des nombres, d’autre part tous les systèmes des deux nombres entiers (2740 DUW 20,20, on peut, à chacun de ces systèmes, faire correspondre un des nombres de la suite naturelle de façon qu’inversement à un nombre x ne