IL — SÉRIES À TERMES IMAGINAIRES. — SÉRIES MULTIPLES

corresponde qu’un seul de ces systèmes. Écrivons, en effet, tous ces systèmes, les uns à la suite des autres, de la manière suivante :

(30) (oo) (r, 0), (o,1); (2,0), (1, 1), (0,2), ..s

et, d’une facon générale, après avoir écrit tous les systèmes pour lesquels on a + k< n, écrivons tous les systèmes pour lesquels :+AÆ=n, en commençant par le système (n, 0) et faisant décroître # successivement d’une unité jusqu’à zéro. Il est clair que chaque système (é, À) n’en aura qu'un nombre Jéni avant lui et occupera par conséquent un rang déterminé dans la suite. Imaginons maintenant qu’on écrive les termes de la série double absolument convergente EZa;; dans l'ordre que nous venons de définir; nous obtenons une série ordinaire

(51) 00 + di0 + Moi + oo + Ay1 + pa +... + An0o + Anm11Te..)

dont les termes sont les mêmes que ceux de la série double considérée, qui est absolument convergente comme elle et a la même somme. Il est clair que ce mode de transformation n’est pas unique, puisqu'on peut permuter l’ordre des termes d’une façon arbitraire. Inversement, toute série ordinaire absolument convergente peut être, d'une infinité de manières, transformée en une série double, et ce procédé constitue un moyen puissant de démonstration pour certaines identités.

On voit que la notion de série à double entrée n’est pas distincte, au fond, de la notion ordinaire de série. Dans une série absolument convergente, on à vu plus haut qu’on pouvait remplacer un nombre fini de termes par leur somme effectuée, ou ranger les termes dans an ordre arbitraire. En cherchant à généraliser encore cette propriété, on est conduit tout natu— rellement à introduire les séries à double entrée.

171. Séries multiples. — La notion de série à double entrée est encore susceptible d’une grande extension. Tout d’abord, on peut considérer des séries dont chaque terme amy dépend de deux indices dont chacun peut varier de — & à + . On peut imaginer les termes de cette série disposés suivant les cases d’un échiquier rectangulaire indéfini dans tous les sens, et l’on voit que la série à double entrée EÉam»h peut se partager en quatre séries doubles, telles que celles que nous avons étudiées jusqu'ici. Une extension plus importante est la suivante. Considérons une série dont chaque

Llerme «,, dépend de p indices m4, M3, ..., My, pouvant

SOPRRRAUOT varier de o à + ou de — à +, ces indices pouvant d’ailleurs être assujettis à vérilier certaines inégalités. Quoiqu'on ne puisse plus se servir d’une représentation géométrique analogue à la précédente dès qu'il y a plus de trois indices, un peu de

réflexion, suffit pour montrer que les propositions établies pour les séries doubles s'étendent sans difficulté aux séries multiples d'ordre p.

Supposons d’abord que tous les termes Cris, my soient réels et positifs. Imaginons qu’on prenne la somme d’un certain nombre de termes de cette série, qu’on ajoute ensuite à cette somme la somme d’un certain nombre de termes négligés, et ainsi de suite, de telle sorte qu'un terme quelconque de la série figure dans toutes les sommes successives au bout d’un certain nombre d’opé- LAHON SOINS SRE S,, ... les sommes successives ainsi obtenues; si S, tend vers une limite S lorsque 7 augmente indéfiniment, la série est convergente et a pour somme S: comme dans le cas de deux indices, cette limite S est indépendante de la façon dont on fait croître le nombre des termes ajoutés. Si les termes ont des signes quelconques ou sont imaginaires, la série est encore convergente pourvu que la série formée par les modules soit con vergente.

172. Généralisation du théorème de Cauchy. — On peut souvent décider de la convergence ou de la divergence d’une série multiple, au moyen du théorème suivant, qui est la généralisation du théorème de Cauchy {n° 164). Soit f(x, y) une fonction des deux variables + et y, qui est positive pour tous les points (x, y) extérieurs à une cerlaine courbe fermée T', et telle que f(x, y) diminue lorsque le point (æ#, y) s'éloigne de l’origine. Considérons, d’une

part, l'intégrale double f° [ f(æ, ») dx dy, étendue à la couronne

comprise entre la courbe F et une autre courbe extérieure C qui grandit indéfiniment; d'autre part, la série à double entrée 2 (m,in), où Pon attribuesaux andices m, n toutes les valeurs, entières, positives et négatives, telles que le point (7, n) soit extérieur à l. Dans ces conditions, {a série double est convergente lorsque l'intégrale double a une limite, et inversement.

Les parallèles aux axes de coordonnées x — 0, CINE YO, Er, Lo, ..., décomposent l'aire comprise entre les deux courbes C et F en un certain nombre de carrés et de portions irrégulières. Si nous prenons dans chacun des carrés le sommet le plus éloigné de l’origine, il est clair que la somme Ef(m, n) cor-