I. — SÉRIES À TERMES IMAGINAIRES. — SÉRIES MULTIPLES

respondante sera inférieure à l'intégrale double f f f(æ, y) dx dy,

étendue à l’aire comprise entre C et F. Si cette intégrale double tend vers une limite S, lorsque la courbe © s'éloigne indéfinrment, il suit de là que la somme d'un nombre quelconque de termes de la série double est toujours moindre qu’un nombre fixe; cette série est donc convergente. On voit de la même façon que, si la Série double est convergente, l'intégrale double est toujours moindre qu'un nombre fixe; celte intégrale tend donc vers une limite. Le théorème s'étend à une série multiple à p indices, sous des hypothèses convenables; le terme de comparaison est alors

une intégrale muluple d'ordre p.

Par exemple, la série double dont le terme gé inéral est > (m?+ n? zu.

les indices m et n prenant toutes les valeurs entières de —

+ ©, sauf m— n— 0, est convergente si => 1, et divergente

si m£<1. Car l’intégrale double

| Prey.

42 D + 2e di Eu?

étendue à la portion du plan extérieure à un cercle concentrique à l'origine, a une valeur finie si p => 1 et augmente indéfiniment si p£1 (n° 134).

Plus généralement, la série multiple dont le terme général est

g 3 (mi + mi+...-+mi)

la combinaison nm, — m; —...— m,—= 0 élant exclue, est conver-

gente si l’on a 2u >> p.

173. Séries multiples à termes variables. — Étant donnée une série double ou, plus généralement, une série multiple à p dimensions, dont les termes sont fonctions d’un nombre quelconque de variables x, y, 3,..., et qui est absolument convergente dans un domaine D, on dit Fe la série est uniforménmgent convergente dans ce me. lorsque la condition suivante est remplie. Étant donné un nombre positif quelconque :, il existe un nombre fini N de termes de la série tel que la différence entre la somme S de la série et la somme d’un nombre quelconque x de termes de cette

-série, comprenant les N premiers, est en valeur absolue inférieure à s, pour tous les systèmes de valeurs des variables FE Te dans le domaine D.

En reprenant les raisonnements des n°° 31 et114, on démontre que la somme d’une série uniformément convergente, dont les termes sont des fonctions continues dans D, est elle-même une fonction connue dans ce domaine, qui peut être intégrée terme à terme dans tout domaine fini à à 4 dimensions (q£n), contenu dans D. On peut de même différentier terme à terme un nombre quelconque de fois une série absolument convergente, pourvu que toutes les séries ainsi obtenues soient uniformément convergentes.

Une série multiple est encore uniformément convergente, lorsque la valeur absolue d'un terme quelconque est inférieure ou au plus égale au terme correspondant d’une série convergente à termes positifs indépendants des variables (n° SRE