III. — PRODUITS INFINIS

174. Définitions et généralités. — Étant donnée une suite indé finie, à termes réels ou imaginaires, dont le terme général est w,, considérons les produits successifs Po, P,, 0, PRO posé

Paz (+ w)(i+ uw)... (+ ua):

si le produit P, tend vers une limite P lorsque 7 augmente indéfiniment, on dit que le produit infini

+ co (33) À Leu) = G + 00) (+ 24) + 24) CS

est convergent : le nombre P est par définition la valeur de ce produit. |

Il est clair que si l’un des facteurs 1 -L w,, est nul, tous les produits P,, où ñZm, sont nuls: on a donc P — 0. Mais il peut aussi arriver que le produit P, tende vers zéro sans qu'aucun des facteurs 1 + w,, soit nul. Tel esi le cas du produit des inverses des n# premiers nombres, qui tend évidemment vers zéro lorsque » croît indéfiniment. Les règles qui permeltent de décider de la convergence d’un produit infini ne s'appliquant pas toujours a ce cas