I. — DÉFINITIONS. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES

On en déduit que la constante C satisfait à la relation FEV (c)+(n+1!CG—=o,

€ étant un nombre inconnu compris entre & et b. Remplaçons maintenant Cet P,(b) par leurs expressions dans la relation (5); nous tirons de l’égalité obtenue la valeur suivante e f(b) : (6) f(b) =

(onde en

DT= n er PAL (a) Le To pe

n | C’est la formule générale de Taylor que nous écrirons, sous une forme un peu différente, en remplaçant b par a + x, et en observant que c est de la forme a + 6x, 4 étant compris entre oet 1,

(D f(a = r)=f(a)+ Sf'(a)+ Sa) + + PSM (a)+ Ras

le reste R, ayant pour expression

æn+1

= if (a + 02)

Ce reste R, représente l'erreur commise quand on remplace {(a+ x) par le polynome P,(a+x). Si [fttt!(z)| reste infé-

rieur à un nombre M lorsque 3 varie de a à a + x, la valeur | T pret Ê à absolue de ce reste est inférieure à Meet Rue IL et nous avons ainsi

une idée de l’approximation obtenue pour f(a + x) en négligeant le reste.

Remarque. — Lorsque la dérivée f(+*!/(x) est continue, on peut encore écrire anti :

n+ da)-E ie men SCA

e désignant un infiniment petit lorsque x tend vers zéro. Si l’on considère + comme l’infiniment petit principal, on voit que R, est un infiniment petit d'ordre n +1 au moins par rapport à æ. En faisant successivement n —1, nñ —2, n — 3, ..., on obuent donc des polynomes qui diffèrent de f(a+zx) d’infiniment petits d'ordre croissant. En faisant a — o dans la formule (5), la formule obtenue s'appelle quelquefois formule de Maclaurin.

Exemple.— Appliquons la formule (7) à la fonction f(x) = log(i x), le signe log désignant le logarithme népérien, en supposant a = 0, n =, æ > —1I; nous trouvons

MA nager

si dans cette formule on remplace x par l'inverse d’un nombre entier », il vient i I 0 log(i+ 1) = 1 — n 2

0, étant un facteur positif inférieur à l’unité.

On déduit de là que la série dont le terme général est = — log (: + :)

Li 4 La e La ® D] I est une série convergente, car le terme général est inférieur à Pre Or la somme des x premiers termes de cette série est égale à

SA Pa + L'log(n EDS ITS En | 5 Un È n +1)?

par suite, la différence 2, — logn tend vers une limite finie, lorsque n croît indéfiniment. Cette limite est la constante d’Euler C, dont la valeur est, avec 20 décimales exactes, C = 0,577215664 go1 532 86060.

‘19. Formes indéterminées. — La formule de Taylor permet de généraliser facilement la règle de l'Hospital (n° 17).

Soient f(x) eto(x) deux fonctions s’annulant pour une même valeur de la variable x = a ; la recherche de la limite vers laquelle tend le rapport des deux nombres f(a+k) ete(a+h), lorsque À tend vers zéro, n’est qu’un cas particulier du problème qui consiste à trouver la limite du rapport de deux inliniment petits. Cette limite s'obtient immédiatement si l’on connaît la partie principale de chacun de ces infiniment petits, ce qui est précisément le cas lorsque la formule (5) est applicable à chacune des fonctions fe et ©(æ) dans le voisinage du point a. Supposons que la première dérivée de f(x), qui n’est pas nulle pour x — à, est la dérivée d'ordre p, f(P?/(a), et de même que la première dérivée de © (x), qui n’est pas nulle pour x — @, est la dérivée d’ordre q, 2) (a). On peut écrire, en appliquant la formule (7) à chacune des foncons f(x), © (x) et divisant les résultats,

f(a+h) 2. ph eds el OC JO p(a+kh) Lan otl(a) IE