III, — PRODUITS INFINIS

singulier, nous réserverons le nom de produit convergent aux produits infinis pour lesquels P, tend vers une limite P différente de séro; lorsque P, a zéro pour limite, nous dirons que le produit est nul, tandis qu'il sera appelé divergent, si P, ne tend vers aucune limite.

Pour qu’un produit infini soit convergent, sans être nul, 1l'est nécessaire que uw, tende vers zéro. En effet, si P, tend vers une limite P, a différence P,— P,; — P,;u, doit tendre vers zéro; le facteur P,, ayant une limite différente de zéro, il faut donc que Le facteur w, tende vers zéro. Le raisonnement ne s'applique plus si le produit est nul; on vérifie aisément sur l'exemple cité plus haut que w, ne tend pas vers zéro.

D’après une remarque antérieure (n° 3), l’étude de la convergence ou de la divergence d’un produit infini se ramène à l'étude de la même question pour une série. Posons v9—=1—+ Us et,

pour AO, (34) [27 —— P, — 127 — (1 ce Uo) (1 Si U;) das (1 te Un-1) Un, et considérons la série auxiliaire

199 ) Po Pi. HPntes..

La somme 2, —p,—+p,+...—+ pv, est évidemment égale à P,, de sorte que celte série est convergente ou divergente en même temps que le produit infini I(1-+ &,); lorsque la série est convergente, sa somme est égale à la valeur P du produit infini.

175. Produits absolument convergents. — Supposons d’abord que tous les nombres w, sont réels et positifs. Le produit P, va en croissant avec » et, pour démontrer la convergence, il suffira de prouver que ce produit P, reste inférieur à un nombre fixe, quel que soit ». On a, d’une part,

P,>I+u+u +... + Un; d'autre part, on a, æ étant posilif, 1 + x <e* el, par suite,

P Et ettot late tün,

La première inégalité montre que, si le produit P, tend vers une

liinite P/on à Constanimenttr, 7e 0e u,<< P, Larsénen

termes positifs

(36) Ho Mi nn rares

est donc convergentle. Inversement, supposons celte série convergente et soit S sa somme; la seconde inégalité donne P,< 6%.

Le produit P, tend donc vers une limite, et l’on en conclut que le produit enfiné À + Un), où lous les nombres u, sont réels el positifs, est convergent ou divergent en méme Lemps que la série (36).

Considérons maintenant un produit infini, à termes quelconques,

réels ou imaginaires,

(37) (+ %)( + uw). 1H un) et soit U;—|w;|. Si la série (38) ÜU+U, oe + U, Eee»

est convergente, il en est de même du produit infini (33). Posons, en effet, comme plus haut,

Pn= (+ W)(1+ m)./ (ED, Va= (1+ Uo)}(1+ Us)... (1 < Ur )Us.

D'après ce qui précède, la série à termes positifs EU; étant convergente, 1] en est de même du produit infini [IL (1 = U5;*etpar suite de la série

(39) Vo+ Vi+.. + V, +.

Or, on a évidemment |v, | V,: la série (40) Pop Éd ne.

est donc absolument convergente, el la somme de cette série est comme on l’a fait remarquer, la limite du produit

Pr=(i+u)(i+w)...(1+ 2)

lorsque 7 augmente indéfiniment. Dans ces conditions, le pro-

+ co

duit LG + u,) est dit absolument convergent.