II. — PRODUITS INFINIS
Les produits infinis absolument convergents offrent un intérêt paruculier, comme Îles séries absolument convergentes, avec lesquelles 1ls ont de grandes analogies. Ainsi, dans un produit infint absolument convergent, on peut modifier l’ordre des facteurs d'une façon arbitraire sans changer le produit. Nous démontrerons d'abord qu'étant donné un produit infini absolument convergent, à tout nombre positif s on peut faire correspondre un nombre entier » tel que la différence entre l’unité et le produit d’un nombre quelconque de facteurs
EU Up) 4. (+ u))
CS
HER sont supérieurs à 72. On a, en effet, comme on le voit immédiatement en supposant les deux produits développés,
ait un module inférieur à &, lorsque tous les indices &, B,
DO + ua) (1 + up)... Gi + un) —1| <G+ Us)... (+ Un) —1,
et, par suite,
LA
[G+u)(i+ us)... (+) — 1] < ebetbpte +0 1;
mais, la série EU; étant convergente, on peut prendre le nombre nr assez grand pour que la somme U,+ Ug+...+ U; soit plus peute que log(1 +e), lorsque tous les indices &, 8, ..., À sont supérieurs à ». Le second membre de l'inégalité précédente peut donc être rendu moindre que tout nombre positifs, en prenant le nombre entier n assez grand
Ceci prouve, observons-le en passant, qu’un produit absolument convergent ne peut être nul à moins qu'un des facteurs du produit ne soit nul. Supposons en effet qu'aucun des facteurs du produit ne soit nul; choisissons le nombre À assez grand pour qu'on ait, quel que soit le nombre positif p,
[OH uns) (+ Unro).. (1 + Untp) —1[ <a,
4 élant un nombre positif inférieur à l’unité. Il est clair que le
+ module du produit infini LLC + Un4y) Sera supérieur à 1 — # el, VE]
par conséquent, le produit P qui est égal au précédent multiplié par P, ne pourra être nul.
432 CHAPITRE VIII — SÉRIES ET PRODUITS INFINIS. Cela posé, soient
(41) (+ Uo)(1+ wi). (+ un).
un produit infini absolument convergent el
(42) (LE) (Eu) CREVER
un autre produit infini composé des mêmes facteurs pris dans un autre ordre. Ce second produit est aussi absolument convergent, car la série EÜ* est composée des mêmes termes que Ja série SU,. Appelons P et P' les valeurs de ces deux produits (41) et (42). Soit P, le produit des 7 -- 1 premiers facteurs du produit (41); tous ces facteurs se retrouvent dans le produit (42), et nous pouvons prendre un nombre m>n tel que le produit P’, ren-
ferme tous les facteurs de P,. Nous avons'älors 5 = (+ ua) EU) GA, fa.
tous les indices &, $, ..., À étant supérieurs à », et, d’après ce que nous venons de voir, on peut choisir le nombre n assez grand pour qu'on ait
aussi pelit que soit le nombre positif e. Or, lorsque r augmente !
0 PF . J A ue indéfiniment, il en est de même de mn, et le rapport = a pour nm
