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limite He [] faut done qu'ont?

176. Produits uniformément convergents. — (Considérons encore un produit infini (33), où ws, wi, ..., un, ... Sont des fonctions continues, réelles ou imaginaires, d’une ou plusieurs Variables er D PEER Et comprend évidemment le cas OÙ Uo, Wii, Ur, ... seraient des fonctions d’une variable com plexe 3. Nous dirons que ce produit est uniformément convergent dans un certain domaine D, si la série Ze, définie plus haut, dont la somme est égale au produit infini, est elle-même uniformément convergente dans ce domaine. Le produit P est alors une fonction continue des variables indépendantes.

Ün produit infini est uniformément convergent, s’il en est ainsi

HT. — PRODUITS INFINIS. 433 de la série (43) RU reprenons en effet la série (35), nous avons Pate + Pnip= Paip— Pr = Ph[(i+ uns)... (+ Un+p)—1|; on à d’ailleurs les inégalités évidentes

| Ph | << (1 + U) (1 + U;). (1 + U?) éUo+Ui+...+Un,

PO + Un) (+ Unse). .. (1 + Un+p) — 1) <'ebn+itÜntat HU p y,

Mais la série (43), étant uniformément convergente dans le domaine D, représente une fonction continue qui reste inférieure à une certaine limite M, et l’on peut choisir un nombre N assez grand pour que la somme suivante, où nr ZN,

Uhr: D Un+2 +. De 0 Uri p

reste inférieure, quel que soit p, à un nombre positif & dans le même domaine. On aura donc, le nombre n ayant été choisi de celte façon,

Ont. + Onpp] < eM(ex— r),

Ceci prouve bien que la série Xe, est uniformément convergente, puisqu'on peut toujours choisir &« de facon à satisfaire à la condiuon e"(e*— 1) Le, aussi petit que soit e.

liemarque. — Toutes les propriétés précédentes s'étendent sans difficulté aux produits infinis I(1 + v,,), où chaque facteur est affecté de deux indices distincts m, n, pouvant varier séparément de o à +. Lorsque la série double SU,,, est convergente, le produit précédent a une valeur bien déterminée, qui ne dépend pas de la façon dont on fait croître le nombre des facteurs. De même qu’une série double absolument convergente peut être, d’une infinité de manières, transformée en une série ordinaire, un produit doublement infini, tel que le précédent, peut être d’une infinité de manières transformé en un produit simplement infini absolument convergent. Si tous les termes w,,, sont des fonctions continues de certaines varialiles æ, y, ..., et si la série SU,,, est uniformément convergenle dans un certain domaine D, le produit

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infini, H(i+u,,) est lui-même uniformément convergent, el.

représente une fonction continue de x, y, .…. dans le domaine D.

177. Produits infinis réels. — Reprenons un produit infini de facteurs

réels (+ u)(i+w).. (+ un)e..

pour étudier le cas où il y une infinité de termes négatifs dans la suite ws, Uj, Us, ..… Lorsque tous ces termes sont, à partir d’un certain rang, compris entre — 1 et o, on est conduit à étudier un produit infini tel que