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Où Po, Pas ces ny +. sont positifs et inférieurs à 1. Il est clair que Île produit (1—#o)...(1—#9,) va en décroissant lorsque 7 augmente, et que ce produit reste positif; il tend donc vers une limite lorsque 7 croît indéfiniment, mais cette limite peut être zéro ou un nombre positif. Si la série Zv; est convergente, le produit infini (44) est absolument convergent; le produit (1—#9)...(1—#91) a donc une limite différente de zéro (n° 175).

Pour voir ce qui arrive lorsque la série Zv; est divergente, remarquons

que 1+ x est toujours inférieur à e® quelle que soit la valeur réclle de car la fonction e*— + —1 est minimum pour + = 0. On peut donc écrire

1— pp Le, 1—pi<e ti, de I— Py Le Vn

et, par suite,

(1 lé Po) (x = V1) Raï e: aus Ph) — e —(PotPi tes ln),

La somme p5+i...+ 9, augmente indéfiniment avec », et par suite le produit infini est nul.

Lorsque la suite wo, WU, :.., Un, ... renferme une infinité de termes positifs et une infinité de termes négatifs, le produit infini ne peut être convergent sans être nul que si le terme général w, tend vers zéro (n° 174). Supposons qu’il en soit ainsi; comme on peut toujours négliger un nombre fini de facteurs au début, nous admettrons que tous les facteurs sont posi= tifs. Le produit P, contient alors un certain nombre de facteurs supérieurs 3 1 et un certain nombre de facteurs inférieurs à 1; le seul cas douteux est évidemment celui où le produit des facteurs supérieurs à 1 augmente indéfiniment, tandis que le produit des facteurs inférieurs à 1 tend vers zéro, lorsque n augmente indéfiniment. Le produit infini peut être convergent ou divergent suivant les cas: mais il est facile de démontrer, en raisonnant comme pour les séries semi-convergentes (n° 165), que, dans un produit de cette espèce, on peut toujours disposer les facteurs dans un ordre tel que le produit P, ait pour limite un nombre positif quelconque donné à l’avance.