III. — PRODUITS INFINIS
Lorsque la série Eu, est convergente, on a une règle précise. Le produit P, tend vers une limite positive ou tend vers zéro, suivant que la série Zu; est convergente ou divergente.
Pour le démontrer, remarquons que le rapport
log(1+ x) — x
ve j } er a pour limite — -; lorsque æ tend vers zéro; nous pouvons donc écrire x?
log(1 + x RER ne en D
3 ’ . MC « I la valeur absolue de x étant inférieure à — > Pourvu que la valeur absolue
de æ soit inférieure à une*certaine limite. Puisque uw, tend vers zéro quand » croît indéfiniment, et qu’on peut faire commencer le produit infini à tel facteur qu'on veut, il est donc permis de supposer qu’on a
À log(t+ 49) = uy — 2 (1+ 00), a
log(i+w)=u — — RS EU) u?
log (1 + Un) = Un — Ce 10,
: I 1 Mn tous les nombres 05, 0,, ..., 0, étant compris entre — ÉbE On déduit de là
1 l (45) logP,=u+ ui +... + un— à uÈ(1+ 00) —...— = uiG+ AE
lorsque les deux séries Zu, et Zu sont convergentes, le second membre tend vers une limite finie quand n croit indéfiniment, car u2(r1+0,) est
: u 3 Me PS compris entre — et -w>. Le produit P, tend donc vers une limite diffé- Sur 2
rente de zéro. Au contraire, lorsque la série Zu? est divergente, le second membre de la formule (45) croit indéfiniment en valeur absolue en restant négatif, et par suite P, tend vers zéro,
La même égalité (45) prouve que le produit infini est divergent ou nul lorsque la série Zu, est divergente et la série Zu? convergente. Mais il est à remarquer De le produit infini peut être convergent lorsque les deux séries Zu, et Zu? sont divergentes. Prenons par exemple wy= u1= H>=—=0, et, pour n >1,
I 1 I I Un = — —=) Uan —= ve M A an ls n nyn
Fr
436 CHAPITRE Vill. — SÉRIES ET PRODUITS INFINIS.
la série Zu, est divergente, car la somme S2, est supérieure à LAN : She 3 a one EE
il en est de même, pour la même raison, de Zu. Cependant le produit infini
(: Ù À ARAl dORET LS e I | LEURS 3 ee PR pp Et ee rt | EE ls — = mn F0 | ï V2 ( Due 2 ps À Va Vn A! n nr
est convergent, car le produit de 27 — » facteurs est égal à
( =) ( a ( =) Le 1 | en lEte À 9, \ n°?
tandis que le produit de 2n —1 facteurs est égal au produit précédent
Le
multiplié par le facteur 1 — qui a pour limite l'unité (1).
n+I Exemples. — 1° La série ? i I LUC I RUE = = 4 Sr F7 ai 0 3 RO MT EE SE Me RE .
NE Ce Cr DTA UET
est convergente ainsi que la série obtenue en élevant ses termes au carré: Le produit infini correspondant
