III. — PRODUITS INFINIS

En laissant de côté le cas où l’un des termes de cette série serait nul ou

infini, on peut écrire

er ORNE)

(v) étant une fonction rationnelle de y qui reste inférieure en valeur absolue à un nombre fixe. Si l’on à &; — b;, >> 0, tous les termes de la série

finissent par être positifs, et cette série est divergente; le terme général un+1 de la première série augmente donc indéfiniment en valeur absolue, Si &i — bi = 0, la série (46) est absolument convergente, et w,}1 tend vers une limite finie différente de zéro. Enfin, si a; — bi < 0, tous les termes de la série (46) finissent par être négatifs, et cette série est divergente ; Un+1 tend donc vers zéro lorsque x croit indéfiniment. Ces résultats sont dus à Gauss (vorr n° 163).

178. Déterminants d'ordre infini. — Soit D aix une série double absok i, k lument convergente dans laquelle chacun des indices 2, k varie de — à +, Considérons le déterminant suivant :

[+ nm Mer retieite. eine 5 SR An, m A—pn+1,-m ce. sc. Am+1,m D, = o,—1m .. [ —- 5,0 é 65 0 ,7n dn,-m Re eines er ue es 8 LT rm

Le produit I, — LLe+icn. où les deux indices z et Æ varient ik de — m à + m, est supérieur à | D,,[, car un terme quelconque de D, a pour module un terme de Il», et ce produit contient, en outre, d’autres termes tous positifs. On voit de même qu’un terme quelconque de la différence Dy+p— D a pour module un terme de la différence I4p — Hy», qui renferme d’autres termes tous positifs. On a donc

| D p+p — D << pp — IT».

Mais la série > |a&ixl étant convergente, le produit Il, tend vers une

limite lorsque m croît indéfiniment; la différence Il» +» — Il, et, par suite, la différence D,,:,— D,, tend donc vers zéro lorsque les deux nombres m et m+p augmentent indéfiniment. [Il en résulte que le déterminant D tend vers une limite (n° 5).

4. Pour qu’un produit infini soit convergent sans être nul, il faut et il suffit qu’à tout nombre positif s on puisse faire correspondre un nombre entier z tel que l’on ait |

[OT + uns) (+ Unso).. (1 + Unrp) —1| <a,

quel que soit le nombre entier p.

.2*. La série à termes positifs uj+ui+...+u,-+... est convergente 3 À RPHUED (141 Lh ou divergente en même temps que la série — + — + ...+ — + So Si Sn

mn USE ui 1 cr On peut écrire — — 1— — }, et appliquer le théorème du n°177. Sz Sj

3. En évaluant de deux facons différentes la somme des termes dun tableau à double entrée, établir les formules

RC PRE A D 0 j" 10 T'— 1== "a | Peer FO ra RE Te j 20 eue AL? on: q q q q q LEE ou à

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Fe = Île 1 ,=arctangÿg=—arc ng W 3 : DER 1 :9 (19%) 5(1+qg5) gvq tang y g*°+arctangyq

où l’on suppose | g| 1.

4*, Soit g un nombre positif inférieur à l'unité. Posons

démontrer la formule

Qi Q2Q3=r.