I. — SÉRIE DE TAYLOR. — GÉNÉRALITÉS

179. Série de Taylor. — Lorsque la suite des dérivées d’une fonction f (+) est illimitée dans un intervalle (a, & + h), on peut supposer le nombre x qui figure dans la formule (3) (p. 41) aussi grand qu'on le veut; sc le reste R, tend vers zéro lorsque n UE mente Rire, on est conduit à écrire

li hi? h: l ÉS ère CT AN TERRE EN 9 Re ae IC ARLES RSI de (RCA VAE () f(a+h) = f(a)- LA (a) - à (a) +... red (a) :

formule qui exprime que la série

f(a) + Lpe +. AU ZA TAN +

È I RON EME CT 4 : est convergente el a pour somme f (a + h). C’est cette formule (1) qui constitue la formule de Taylor proprement dite, mais elle n’est légitime que si l’on a établi que le reste R, tend vers zéro pour n infini, tandis que la formule générale (3) ne suppose que l’existence des dérivées jusqu’à la (nr +1)". La formule (1) peut encore s’écrire, en remplaçant & par x,

HRe fi fa + he) = fe) + RS) + Pa) +

1852. .78 au Contraire, si l’on fait a = 0, et qu'on Fe la par +, il vient (2) Do) — L f'(o) +. ee me CNE UT

Cette dernière formule (2) est appelée aussi quelquefois formule

de Maclaurin; mais on doit remarquer que ces différentes formules sont au fond équivalentes. Tandis que la formule (2) donne le développement d’une fonction de # suivant les puissances de %, la formule (1) donne le développement d’une fonction de À suivant les puissances de h; il suffit d’un simple changement de notation pour passer de l’une à l’autre.

Îl est un cas assez étendu où l’on peut affirmer que le terme complémentaire R, tend vers zéro lorsque #7 augmente indéfiniment : c'est celui où la valeur absolue d’une dérivée d'ordre quelconque reste inférieure à un nombre fixe M, lorsque x varie dans l'intervalle (a, « + h). On a, en effet,

|A |2+1 # R a ———— vhs | Aer à

et le second membre est le terme général d’une série convergente,. C'est ce qui arrive pour les fonctions e*, sinx, cosæ; toutes les dérivées de e*% sont égales à e% et admettent, par conséquent, le même maximum dans l'intervalle considéré. Quant aux dérivées de sinx et de cosx, leur valeur absolue ne dépasse jamais l'unité. La formule (1) est donc applicable à ces trois fonctions, quelles que soient les valeurs de a et de À. Bornons-nous à la formule (2); si f(x) = e*, la fonction et toutes ses dérivées sont égales à un pour æ — 0, el, par suite, nous avons le développement

x? RAD

[ LE En on

qui s'applique à toutes les valeurs, positives ou négatives, de x. Si a est un nombre positif quelconque, on a a7— erlt6a et, par conséquent,

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