I. — DÉFINITIONS. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES

e et e/ étant deux infiniment petits. Il est évident, sur cette formule, que le rapport considéré augmente indéfiniment lorsque À tend vers zéro, si qg est supérieur à p, et tend vers zéro si q est

fa),

inférieur à p ; lorsque g = p, il tend vers une limite finie (a)

Une indétermination du même genre se présente quelquefois dans les équations de la tangente à une courbe. Soient

les formules qui donnent les coordonnées d’un point d'une courbe quelconque C exprimées en fonction d’un paramètre {; les équations de la tangente à cette courbe en un point M correspondant à la valeur £, du paramèêtre sont, comme on l’a vu (n° 14),

RE Cho) Cohen Z— Yu), J'(to) ® (to) Y' (Lo)

Ces équations se réduisent à des identités, si les trois dérivées f'(t), (4), '(é) sont nulles à la fois pour £ = 4. Pour lever la difficulté, reprenons le raisonnement qui a servi à trouver les équations de la tangente. Soient M' un point de la courbe G voisin du point M, et {+ À la valeur correspondante du paramètre; les équations de la corde MM sont

D tn) 74) foot h)—f(to) (tot h)—p(to) YCéo+ À) — (to)

Pour plus de généralité, nous supposerons que toutes les dérivées d'ordre inférieur à p (p > 1) des fonctions f(t), g(t), Y(t) sont nulles pour {= &, mais que l’une au moins des dérivées d'ordre p, par exemple f(?) (4), n’est pas nulle. En divisant tous les dénominateurs des expressions précédentes par »P et appliquant la formule générale (7), on peut encore écrire ces équations

X=f(n) Yet) Z—V) FP(b)+E op) (to) + € PS UP (4) +E"”

e, €’, <’ étant trois infiniment petits. Si maintenant on fait tendre À vers zéro, ces équations deviennent à la limite

X—f(to) Y—vp(to) __ Z—Y(t) Pt) prit) YP/(t)

et ne présentent plus aucune indétermination. Les points d'uné courbe C où cette circonstance se présente sont en général des points singuliers, où la courbe offre quelque particularité de

forme. Aïnsi la courbe plane représentée par les équations æ = #?, y = #3