T2 A 4 AIL

6 COST = 1 — de —— (6) ; TOUT DER EN Ref 1 Revenons au cas général. La discussion du reste R, est rarement aussi simple que dans les exemples précédents; mais on peut la faciliter en remarquant que, si ce reste tend vers zéro, la série [2 hr RUTAT fia)j+-f(a)+...+ ———— fn(a) +...

L ST à 1 est nécessairement convergente. En général, 1l vaut mieux s’assurer, avant d'examiner R,, que la série est convergente ; si, pour des valeurs données de a et de L, cette série est divergente, 1l est inutile de pousser la discussion plus loin : on peut affirmer queR, ne tend pas vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. La réciproque n’est pas exacte. La série

(0). © F'(0) + = f'Co) +... +

ANBECO TEE Jr ti c

peut fort bien être convergente, sans représenter la fonction f(x)

qui lui a donné naissance; l'exemple suivant est dû à Cauchy. | :

La

D 5. a en Aa D 2)—e. ; ona f(x) — Cl: d'une manière générale, la dérivée nie est de la forme

F (n) SR si k (æ) axm € E ?

P désignant un polynome. Toutes ces dérivées sont nulles pour

æ = 0, Car le quouent de e * par une puissance positive quelconque de x tend vers zéro avec æ; on peut écrire en effet

(| . L , L] en posant #— =? et l’on sait que => augmente indéfiniment avec 3,

aussi grand que soit mn. Soit, d’autre part, © (x) une fonction à

laquelle s'applique la formule (2)

A 2 , VAL p(æ) no 0 an (Diese RAS

pn(o) +....

Posons F(x)=vw(x)+e *;ona F(0)=%(CoY, NOETAO)! OR. Fr) (0) = ER RE

de sorte que le développement de F(x) par la formule de Maclaurin serait identique au précédent. La somme de la série que l’on obtient ainsi représente donc une fonction tout à fait différente de celle qui a donné naissance à cette série.

D'une facon générale, si deux fonctions f(æ) et o(x) sont égales, ainsi que toutes leurs dérivées, pour æ —0, sans être identiques, il est clair qu’elles ne peuvent être toutes les deux développables en série par la formule de Maclaurin, puisque les coefficients du développement seraient les mêmes pour les deux

fonctions.

180. Formule du binome. — Prenons comme dernier exemple la fonction (1+ x)*, qui est continue, ainsi que toutes ses dérivées, pourvu que 1 + x soit posiuf. La série (2) correspondante

mi IM(mMm —1) MM —1)...(m —"n +4 l'y LME TS pi. BICRE EI): CR SOS 2 li RE Tr

æ|=1,à moins que » ne soit un nombre

est divergente si l’on a enter positif. Pour démontrer que le reste tend vers zéro, lorsque æ est compris enlre — 1 et +, écrivons ce reste sous forme d'intégrale définie (n° 88)

ne :

Ro = | Ft+t(23)(x — 2)? dz (

Fab,

nie.

; FA \ nm(m — 1)... ta / THEN 2 PRE ET RAS) f a+sma(es)' a n! ER

Lorsque 3 varie de o à x, (1 + 3)*-1 reste inférieur à un maxi- , . , * ie r.

mum M indépendant de n. Le quotient :

z “ a reste plus pelil que x

en valeur absolue, car si l’on pose z — 0x, il vient

et le coefficient de x est plus petit que un, lorsque 4 croît de o à r.