II. — SÉRIES ENTIÈRES A UNE VARIABLE

IL s'ensuit que la valeur absolue de R, est inférieure au terme sénéral d’une série convergente.

Pour toute valeur de x comprise entre —1 et +1,on a, par conséquent,

. m mm —1)...(m — n' +1 GA x) = 1 + RE en

PAS ae à La même méthode conduit aussi au développement

TX Ll° (8) log(i+xz)=— -

FA Fo »

qui s'applique pour — 1 < Hi.

En dehors des exemples que nous venons de traiter, et de quelques autres, la discussion du reste offre de grandes difficultés, à cause de la complication croissante des dérivées successives. Îl semblerait donc, d’après ce premier apercu, que les applications de la formule de Taylor pour le développement d’une foncuon en série doivent être très limitées. Une telle vue serait absolument inexacte, et ces développements jouent, au contraire, un rôle fondamental dans l'Analyse moderne. Mais, pour apprécier leur importance, 1l faut se placer à un autre point de vue, et étudier en elles-mêmes les propriétés des séries entières, sans se préoccuper de leur origine.