II. — SÉRIES ENTIÈRES A UNE VARIABLE

Nous allons maintenant faire une étude directe des séries entières à une ou plusieurs variables, auxquelles conduit tout naturellement la formule de Taylor. Quoiqu'on ne s'occupe que de variables réelles, les raisonnements s'étendent d'eux-mêmes aux variables imaginaires, en remplacant partout les mots valeur absolue par module.

AS1. Région de convergence. — Considérons d’abord une série (9) Ab AIX ASX2+...+A,XR+...,

où tous les coefficients AÀ,, A4, A2, ... sont positifs et où l’on attribue à la variable indépendante X que des valeurs positives.

Nous pouvons ranger les nombres positifs en deux classes : nous dirons qu'un nombre positif X appartient à la classe (a) si la série (9) est convergente, et qu'il appartient à la classe (8) si cetie série est divergente. Supposons d’abord qu'il existe des nombres positifs des deux classes. Comme un terme quelconque de la série (9), dont le coefficient n’est pas nul, va en croissant avec X, ilest clair qu'un nombre quelconque de la classe (&) est plus petit qu'un nombre quelconque de la classe (8). Il existe donc un nombre R => 0 (n° 2) tel que tout nombre X supérieur à R rend la série (9) divergente, tandis que tout nombre positif X inférieur à R rend la série convergente. Ce nombre R lui-même, mis à la place de X, peut donner une série convergente ou une série divergente.

Il peut se faire qu’une des deux classes (x) ou (B) disparaisse :

1° S'il n'existe aucun nombre de la classe (8), la série (9) est convergente quel que soit X, et l’on dit que R est infini. Tel est le cas de la série

X X? X# I+ — + HE —— + ...; I 152 DDR ENT

2° S'il n'existe aucun nombre positif de la classe (x), la série (9) est divergente, sauf pour X — 0, et l’on pose R —o. Telle est la série |

IH XX +r 2X24 0, TO NN XEE SR Considérons maintenant une série entière (10) lo + AT + AL? +... + AnD+..,,

où les coefficients a; et la variable + peuvent avoir des signes quelconques. Nous poserons dorénavant A;=|a;|, X=—|x|, de facon que la série (9) sera formée par les valeurs absolues des termes de la série (10). Soit R le nombre qui vient d’être défini pour cette série (9); il est évident que la série (10) est absolument convergente pour toute valeur de x comprise entre —R et +R, d’après la définition même du nombre R. Il nous reste à montrer que la série (10) est divergente lorsque la valeur absolue de x est supérieure à R. Cest ce qui résulte de la proposition fondamentale