II. — SÉRIES ENTIÈRES A UNE VARIABLE. Â
d'Abel (1) : Sc la série (10) est convergente pour une valeur particulière x, elle est absolument convergente pour toute valeur de x dont la valeur absolue est inférieure à | ol.
En effet, la série (10) étant supposée convergente pour & — &o; désignons par M un nombre positif supérieur à la valeur absolue de l’un quelconque des termes de cette série, de telle sorte qu’on
ait, quel que soit le nombre n,
Attiter M Nous pouvons écrire ax Aa () < ui ne | To | | &o | ) la série (9) est donc convergente si l'on suppose X <|x,[, ce qui démontre la proposition énoncée.
Cela posé, si la série (10) est convergente pour 4 — %o, on voiL que la série des valeurs absolues (9) sera convergente pourvu que X soit inférieur à |xol. On ne peut donc avoir lol Focar alors le nombre R ne serait pas la borne supérieure des valeurs
de X qui rendent convergente la série (9).
En résumé, étant donnée une série entière (10) où les coefficients ont des signes quelconques, il existe un nombre positif R possédant la propriété suivante : La série (10) est absolument convergente pour toute valeur de x comprise entre —R et +k, et divergente pour toute valeur de x supérieure à R en valeur absolue. L’intervalle (—R, +R) s’appellera la région de convergence; cette région s'étend de — æ à + dans le cas limite où R est infinr., Elle se réduit à l'origine si R= 0; nous laisserons de côté, dans lalsuite, ce cas particulier. | |
La démonstration ne nous apprend rien sur ce qui arrive pour LL valeurs limites x —R, x —— R. La série (10) peut être abso lument convergente, simplement convergente, ou divergente.
Considérons, par exemple, les trois séries
+ 0 + co + æ Et LŸ AY 1 + > æY, 1+ Ÿ —; + = ; dl A +V== V1 VE
"te m m(m—1 (:) Recherches sur la serie 1 + rie + Mes æ? +
on a, pour ces trois séries, R— 1, car le rapport d’un terme au précédent a pour limite x. La première série est divergente pour Œ —#1,la deuxième est divergente pour +—1 et convergente
pour æ——1; la troisième est absolument convergente pour 4 pm RS 12 Remarque. — [L'énoncé de la proposition d’Abel peut être
généralisé; il suffit, en effet, pour la suite du raisonnement, de supposer que la valeur absolue d’un terme quelconque de la série | |
A ALo+...+ Anti +...
reste inférieure à un nombre fixe. Lorsqu'il en est ainsi, la série (10) est absolument convergente pour toute valeur de la variable dont la valeur absolue est inférieure à [ml
Le nombre R est lié par une relation très simple au nombre w défini plus haut (n° 160), qui est la plus grande des limites des termes-de la
suite TESTS re ER A1, ÿ A, V À 3: ... VA,
En effet, si l’on considère la suite analogue
A1X) VAeXt, ON NC RE | |
il est clair que la plus grande des limites des termes de cette suite est wX,
LA , ANA : 1 La série (9) est donc convergente, si l’on a X < met divergente si X > a.
Ce I par conséquent, R — 2 (13,
182. Continuité d’une série entière. — Désignons par fe) la somme d’une série entière convergente dans l'intervalle de —#R à +R,
(11) AVE a air EN a Re
et soit R’ un nombre positif inférieur à R. Nous allons d’abord montrer que la série (1 1) est uniformément convergente dans l’intervalle de — R' à +R’. En effet, pour une valeur de æ, dont la
(*) Ce théorème, démontré par Cauchy dans son Cours d'Analyse, a été retrouvé par M. Hadamard dans sa thèse.
IL — SÉRIES ENTIÈRES À UNE VARIABLE, 447 KE Lu valeur absolue ne dépasse pas R', la valeur absolue d'un terme quelconque [an x | est au plus égale au terme correspondant de la série convergente
