A+ AR +... + ART
Il suit de là que la somme f(x) de la série est une fonction continue de x, pour toute valeur de la variable comprise entre —R et HR. En effet, étant donné un nombre +5, plus peut que R en valeur absolue, 1l est évident qu'on peul trouver un autre nombre ositif R’, inférieur à R et supéricur à [xo|. D’après ce
Mu'on vient de voir, la série est uniformément convergente dans l'intervalle de — R/ à + R'; la somme f(x) est donc continue pour la valeur , qui appartient à cet intervalle.
La démonstration ne s'applique plus aux limites Rte R de la région de convergence. La continuité subsiste cependant, pourvu que la série soit convergente. Abel a démontré, en effet, que st la série (10) est convergente pour x =R, la somme de cette série est la limite vers laquelle tend la somme de la série f(x) lorsque x tend vers R en étant inférieur à R.
Il suftit de prouver que la série (11) est uniformément convergente dans tout l'intervalle (0, R), y compris la limite x —=R. En effet, « étant un nombre positif arbitraire, choisissons un nombre
Ce
entier » assez erand pour que l’on ait, quel que soit p, P | A ACER RES Share Fin ”
| Hart RUE An ÉRPRORE 1 Gn+tp REP | Es,
cela est possible puisque, par hypothèse, la série (10) est convergente pour x—R. Soit æ un nombre positif inférieur à R; on
. 72 ; peut écrire an = An R' >< (#) , et appliquer le lemme d’Abel
= . . el À (n° 77), en observant que les puissances successives de R forment
une suite décroissante. On a donc aussi, quel que soil p,
T n+i RUN CMS DT dr par P Re € (#) <4 8!
Cette inégalité, rapprochée de la précédente, prouve que la série (10) est uniformément convergente dans tout l’intervalle (o, R). La somme de la série est donc connue pour la limite supérieure de cet intervalle, car les démonstrations
données plus haut (n°5 31-32) s'appliquent aussi à une limite de l'intervalle de convergence, si la série est uniformément convergente dans tout l'intervalle, la limite comprise.
On voit de la même facon que, si la série (11) est convergente pour æ—=—kR, la somme de cette série pour æ——R est la limite vers laquelle tend la somme f(x) lorsque x tend vers — R. Il suffit, du reste, de changer x en — x pour être ramené au pre-
. HER QUO. | RE mIer cas. ù PAM
LA
Application. — Cette proposition permet de compléter le théorème établi plus haut (n° 168) sur la multiplication de deux séries. Soient | S = UP USE Ua ELA
* S'— PG + Pose Po +... + nn
deux séries convergentes, dont aucune n’est absolument convergente, la série obtenue par la règle de multipiication
U0 00 + (Ut + UiVo) FM Eee, EE Un Vo) +...
peut être convergente ou divergente: mais, si elle est convergente, sa somme E est égale au produit des sommes des deux premières séries, 2 — SS’. Considérons, en effet, les trois séries entières
JL) = Uuo+ WT +... + upan +. 4 PT) = po+- Pit +. pyat +.
UT) = u560 + (uo0s + UiVo)T +...+(uopn +... UnVo)æ®+,,.;
ces séries sont convergentes, par hypothèse, pour + = 1, et, par suite, sont absolument convergentes lorsque x esl compris entre —: et +1. Pour ces valeurs de æ, le théorème de Cauchy sur la multiplication des séries est applicable et nous donne la relation
or, lorsque x tend vers l'unité, f(æ). e(æ), L(æ) ont respectivement pour limites, d’après le théorème d'Abel, S, S'et ©. Les deux membres de Ja formule (12) restant constamment égaux, on a donc, à la limite, = SS!. Le théorème est encore vrai pour les séries à termes imaginaires et s'établit de la même façon.
183. Dérivées successives d'une série entière. — [En différentiant terme à terme une série entière
y (ae dirai Aa l?+.., + And +.
II. — SÉRIES ENTIÈRES A UNE VARIABLE. - 449 convergente dans l'intervalle (— R, +R), on obtient une nouvelle
série entière
(13) dj+ 24T+...+ nant 1H...
qui est convergente dans le même intervalle. Il suffit, pour le prouver, de montrer que la série des valeurs absolues
(14) A1+2AX+...+nA,Xn-1,.,,
est convergente si X CR, et divergente si X > R. Pour démontrer la première partie, supposons X < R, et soit R/ un nombre compris entre X et R, X LR'< R. La série auxiliaire
